Физическое значение преобразования Фурье и соотношений неопределенностей

Очень краткий ответ: преобразование Фурье, используемое в квантовой физике, интерпретирует точку в одном наборе из трех координат как широкий спектр в другом наборе из трех координат, и наоборот. Это отношение неопределенности, поскольку оно означает, что когда объект является точечным в одном наборе координат (например, в пространстве), он становится обширным и расплывчатым в другом (например, в импульсе) .

Чтобы сделать это немного более точным, вам нужно перестать думать о преобразованиях Фурье как о плоских синусоидальных графиках и вместо этого думать о них как о комплексных значениях, то есть как о фазовых значениях в плоскости (на самом деле еще две оси), которая является ортогональной. к остальным трем. В этой форме объект, вытянутый вдоль одной оси — скажем, X — больше похож на растянутый облегающий элемент, если добавить две комплексные координаты и двигаться вдоль X. Различные уравнения непрерывности физики просто говорят, что катушки любой такой slinky хотел бы оставаться как можно более гладким и не перегнутым. (Слинки также вращаются вокруг своей оси в зависимости от того, насколько массивен объект, но это другой вопрос).

Если такая обтяжка бесконечно длинна в X и совершенно гладка при некоторой частоте скручивания, она представляет собой частицу, волновая функция которой бесконечно длинна в X и вероятность обнаружения которой в любом месте практически равна нулю. Это неопределенность положения, худший из возможных случаев.

Но частота скручивания более важна для неопределенности, потому что эта частота просто представляет импульс частицы, параллельный оси X. Если намотка совершенно регулярная, есть только одна такая частота, и вы можете отобразить ее на выходной частоте (в стиле радиоциферблата) в другой триплет осей, помеченных$p_x$,$p_y$, и$p_z$. Это импульсное пространство, обратная сторона медали Фурье.

В этом пространстве частица действительно имеет очень точное местоположение, то есть положение этой конкретной частоты вдоль оси импульса.$p_x$.

А что, если попробовать наоборот? То есть, что, если вы построите подобную спираль, используя те же правила добавления сложной плоскости, перпендикулярной$p_x$и создавая там очень длинную, очень правильную спираль. (Здесь есть красивая симметрия в физике, потому что оказывается, что импульсное пространство имеет правила непрерывности и гладкости, очень похожие на правила обычного XYZ-пространства, несмотря на некоторые различия в их значении.)

Что ж, почти то же самое происходит, только наоборот: длинная, точная катушка в импульсном пространстве также имеет точную частоту, которая также интерпретируется в пространстве XYZ как точное местоположение. И опять же, когда катушка растянута в импульсном пространстве, это означает, что там трудно найти частицу; с равной вероятностью он может быть почти в любом месте катушки, а значит, может иметь почти любой импульс. Таким образом, в этом случае «неуверенность» в местоположении частицы в импульсном пространстве означает, что она имеет очень точное местоположение в обычном пространстве.

Симметрия просто великолепна и имеет много реальных применений в физике. Металлы, например, представляют собой вещества, в которых пары электронов существуют больше в пространстве импульсов, чем в обычном пространстве, в результате чего некоторые из них имеют очень высокие импульсы (энергии) и все они довольно странно распределены по металлическому кристаллу. Высокоэнергетические частицы делают металл отражающим, движение (импульс) электронов делает его проводящим, а делокализация электронов в сочетании с компенсацией заряда создает довольно замечательные свойства, такие как прочность на растяжение (он крепко слипается!) и пластичность ( проще гнуться, когда половина зарядов всегда в движении).

Но в то время как часть Фурье этой симметрии между пространством XYZ и пространством импульса точна, значения частот в этих двух пространствах совершенно иные. Самая большая разница заключается в том, что, хотя размер объекта в пространстве XYZ не имеет большого значения для энергии, размер в импульсном пространстве имеет огромное значение, потому что более высокий импульс означает более высокую энергию. Таким образом, чем дольше slinky (правильнее называть волновой функцией) становится в импульсном пространстве, тем выше становится энергия частицы.

А поскольку длина гибкого в импульсном пространстве определяет через преобразование Фурье, насколько точно его можно расположить в обычном пространстве XYZ, чрезвычайно точные положения имеют свою цену — очень высокую цену. Стэнфордский линейный ускоритель, например, должен разгонять электроны до чрезвычайно высоких скоростей (импульсов), потому что это единственный способ сделать местоположение электронов достаточно точным, чтобы исследовать внутренности таких частиц, как нейтроны и протоны.

Как ни странно, такие затраты не возникают, когда частицы теряются в обычном пространстве XYZ. Итак, электрон, блуждающий по космосу, в принципе может быть представлен очень большим обтекателем с очень точной частотой, если что-то (например, дифракция) побуждает его формироваться таким образом. Но даже несмотря на то, что затраты энергии невелики, такие волновые функции нестабильны по совсем другой причине: любое информационное взаимодействие между ними и другим веществом делает волновую функцию неуместной (да, я стараюсь не вдаваться в подробности). школы квантовой доктрины с такой осторожной формулировкой) и для всех практических целей гораздо меньшую волновую функцию. Только не слишком мало, так как только энергия взаимодействия доступна для изменения исходной диффузной формы.

И снова, чтобы вернуть все это домой: именно преобразование Фурье и его способность сказать, насколько хорошо каждая частота «соответствует» гибкой форме в любом из пространств, создает эту интерпретацию туда и обратно между двумя, и тем самым создает квантовую неопределенность.