Вывод канонического коммутаторного соотношения положение-импульс

Мы знаем, что коммутатор положения-импульса является фундаментальным в квантовой механике, но можно ли было бы вывести его, исходя из другого набора первых принципов, точнее, начиная (в обозначениях Дирака) с

1) Отношения замыкания ∫ | Икс ⟩ ⟨ Икс | г Икс (как импульс, так и позиция)

2) ⟨ Икс ′ | Икс ⟩ "=" дельта ( Икс − Икс ′ ) Отношения ортонормированности для обоих базисов

3) ⟨ Икс | п ⟩ "=" е ipx предположение, что собственные состояния импульса представляют собой плоские волны в позиционном представлении

По существу противоположный вопрос см., например, в этом сообщении Phys.SE.
Коммутатор Икс с п является основным ингредиентом. Все остальное, что вы упомянули, может быть получено из этого.

Ответы (2)

Подразумеваемые в предположении о «положении» и «импульсе» базы должны быть уравнениями собственных значений. для соответствующих наблюдаемых, Икс ^ | Икс ⟩ "=" Икс | Икс ⟩ и п ^ | п ⟩ "=" п | п ⟩ , хотя выражение п ^ в позиционном основании не стоит. Поняв это, рассмотрим матричный элемент

⟨ Икс | ( Икс ^ п ^ − п ^ Икс ^ | Икс ′ ⟩ "=" ( Икс − Икс ′ ) ⟨ Икс | п ^ | Икс ′ ⟩ "=" "=" ( Икс − Икс ′ ) ∫ г п 1 ∫ г п 2 ⟨ Икс | п 1 ⟩ ⟨ п 1 | п ^ | п 2 ⟩ ⟨ п 2 | Икс ′ ⟩ "=" "=" ( Икс − Икс ′ ) ∫ г п 1 ∫ г п 2 е я п 1 Икс дельта ( п 1 − п 2 ) п 2 е − я п 2 Икс ′ "=" "=" ( Икс − Икс ′ ) ∫ г п 1 п 1 е я ( Икс − Икс ′ ) п 1 "=" − я ( Икс − Икс ′ ) ∂ ∂ Икс ∫ г п 1 е я ( Икс − Икс ′ ) п 1 "=" "=" − я ( Икс − Икс ′ ) ∂ ∂ Икс дельта ( Икс − Икс ′ ) "=" я дельта ( Икс − Икс ′ ) "=" я ⟨ Икс | Икс ′ ⟩
где использовалась личность ( Икс − а ) дельта ′ ( Икс − а ) "=" − дельта ( Икс − а ) . С | Икс ⟩ , | Икс ′ ⟩ произвольны,
[ Икс ^ , п ^ ] "=" я
следует обязательно.

Единственный ингредиент, который нужен для обратного доказательства коммутационных соотношений, — это действие любого из двух операторов на другой базис; а именно надо предположить, что ⟨ Икс | п ^ | ψ ⟩ "=" я ∂ Икс ψ ( Икс ) , т.е. оператор импульса действует как производная по позиции (или наоборот). Оттуда коммутационные соотношения автоматически следуют из теоремы Стоуна или, что эквивалентно, производная - это единственный оператор, коммутатор которого с позицией является тождественным.

3) следует автоматически, а 1) и 2) не нужны.

Я думаю, мы можем вывести это, когда у нас есть это ⟨ Икс | п ⟩ "=" е ipx  и  п ^   | п ⟩ "=" п | п ⟩
⟨ Икс | п ^   | п ⟩ "=" п ⟨ Икс | п ⟩ "=" п е ipx И отсюда разве не безопасно предположить, что ⟨ Икс | п ^ | ψ ⟩ "=" я ∂ Икс ψ ( Икс ) (Поскольку мы всегда можем написать ψ ( Икс ) как сумма по собственным функциям импульса)
Вывод канонического коммутаторного соотношения положение-импульс
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v