В этом вопросе я имею в виду «коммутативное кольцо с 1, не равным 0» как кольцо.
Я видел, как пару раз упоминалось, что полезнее думать о кольцах как об объектах, содержащих идеалы, чем вообще думать об элементах. Например, в некоторых ответах на сайте будет сказано: «Вот подход без элементов». Почему это хорошая идея и какие мотивы стоят за ней? С точки зрения теории групп было бы странно игнорировать элементы, похоже, мы просто теряем информацию. Насколько я понимаю, кольца полезны тем, что с их помощью мы можем изучать теорию чисел, но как мы можем сделать это без элементов.
Ссылки приветствуются. Спасибо.
Некоторые люди увлекаются заявлениями о бесплатном использовании элементов. Я бы сказал, что это хороший связанный вопрос, чтобы проверить .
Дело в том, что да, иногда существуют полезные способы характеристики колец без обращения к элементам, а только со ссылкой на идеалы (или подмодули их модулей). Это верно для очень многих вещей в алгебраической геометрии и гомологической алгебре.
Но идеалы — это не главное в теории колец. Подумайте о большом разнообразии существующих полей (и разделительных колец). Все они выглядят одинаково, если обращать внимание только на идеалы.
Это правда, что иногда конкретное использование элементов приводит к отвлечению внимания и форме миопии. Например, некоторые учащиеся будут понимать матрицы только как линейные преобразования за счет понимания линейных преобразований в абстрактном виде. В некотором смысле они «слишком близко», чтобы увидеть, что происходит.
Но в других случаях кажется невозможным не упомянуть элементы. Например, что-то вроде евклидова поля должно что-то сказать о каждом элементе. Другим примером могут быть логические кольца. Я не знаю о свободной от элементов характеристике этих…
На самом деле не следует абсолютно продвигать неэлементный подход вместо элементного. Они оба могут использоваться в разных обстоятельствах, и они дополняют друг друга.
Это немного основано на мнении, но я все равно постараюсь ответить на него.
Мотивация заключается в том, что иногда слишком много информации — это просто шум, который размывает общую картину. Например, если имеет ровно два идеала ( и ), то это поле. И поэтому мы можем многое сказать о модулях над (все бесплатно), просто посмотрев, сколько идеалов имеет, нет необходимости анализировать элементы. Конечно, то же самое можно сделать, проверив, есть ли у каждого элемента обратный, в конце концов, наличие дополнительной информации не делает ситуацию хуже. Но мы всего лишь люди, и количество информации, с которой мы можем справиться, ограничено.
Обратите внимание, что то же самое относится и к группам. Мы часто рассматриваем простые группы, то есть группы, имеющие только две нормальные подгруппы: тривиальную подгруппу и саму себя. Одна только эта информация влечет за собой множество следствий, например, каждый гомоморфизм с простой группой в качестве области определения либо равен нулю, либо инъективен. На самом деле конечные простые группы очень важны, они являются строительными блоками любой конечной группы.
Другой пример, скажем, у вас есть конкретная группа . Группа большая, таблица умножения сложная, но каким-то образом вам удалось сделать вывод, что в ней ровно две подгруппы: тривиальная подгруппа и она сама. Вуаля, этого достаточно, чтобы сделать вывод, что является циклической группой простого порядка. Не нужно искать генератор и вычислять его порядок. Если это не нужно конечно.
Роб Артан