Ищу руководство для школьников по поиску диаграмм

Question

Ищу руководство для школьников по поиску диаграмм

Математика
мягкий вопрос
теория категорий
гонка за диаграммами
запрос-справка

кджо

Я изучаю теорию категорий и обнаруживаю, что очень медленно разбираюсь в диаграммах. Иногда мне требуется очень много времени, чтобы решить, сохраняет ли добавление стрелки на диаграмме коммутативность диаграммы, или что данная стрелка существует или уникальна, или что две противоположные стрелки на самом деле обратны друг другу и т. д. И наоборот, не раз я был заведен в тупик в результате небрежного рассуждения диаграммы.

Я ищу «Руководство для студентов по поиску диаграмм» или его эквивалент. Т.е. сборник советов, эмпирических правил, правил и т.п., предназначенных для новичков. Например, такие правила, как: «любые две коммутирующие диаграммы могут быть склеены по общему краю».

Если вы знаете о таком руководстве $^{1}$ , пожалуйста, дайте мне знать об этом.

Спасибо!

$^{1}$ IOW, пожалуйста, не гуглите это для меня. Я уже сделал это и не нашел ничего, что соответствовало бы описанию, данному выше. Моя единственная надежда состоит в том, что такое руководство существует в виде приложения к книге или, может быть, каких-то неопубликованных классных заметок.

ОБНОВЛЯТЬ

Я подумал, что некоторые читатели сочтут эту поучительную историю поучительной.

Работая над упражнением по толканию стрелы/погоне за диаграммой, я нарисовал эту диаграмму.

Невинно выглядящий, но неправильный

(FWIW, все эти диаграммы находятся в старом добром наборе .)

Здесь, $U\;\Pi_{\gamma,\delta}\;V$ бинарное отношение

{(ты, в) | γ (ты) "=" дельта (в)} \subseteq U \times В "=" U Π В,

$\{(u, v) | \gamma(u) = \delta(v) \} \subseteq U \times V = U \;\Pi\; V,$

и $\rho_U, \rho_V$ даны $\rho_U((u, v)) = u, \rho_V((u, v)) = v$ . Карты $\pi_U, \pi_V$ , конечно, являются каноническими проекциями произведения $U \;\Pi\; V$ . (Двуглавые стрелки обозначают эпиморфизмы, а «хвостатые» стрелки, как и для $\delta$ , обозначают мономорфизмы.)

Поначалу диаграмма действительно выглядела достаточно невинно: не более чем обычный категорический откат (который здесь я называю $U\;\Pi_{\gamma,\delta}\;V$ , чтобы предложить «волокнистый продукт»):

Обычный категоричный откат

...удобно оснащенный своим включением $\iota_{\gamma,\delta}$ в обычный категориальный продукт:

Включение в обычный категориальный продукт

Излишне говорить, что вскоре я начал делать (то есть из первой приведенной выше диаграммы) некоторые явно бессмысленные выводы, такие как: $\delta$ моник $\Rightarrow \pi_U$ моник $\Rightarrow U\;\Pi\; V \cong U$ ".

Мне потребовалось очень много времени, чтобы понять, что источник ошибок неправильно трактовал эту поддиаграмму как коммутативную:

Это очень неправильно!

Конечно, за исключением особых случаев (например, $V \cong W \cong \mathbf{1}$ , синглтон), эта последняя диаграмма неверна.

Я уверен, что в этой истории есть мораль (кроме «Диаграммы сложнее, чем кажутся» и «Не будь дураком!»), но я еще не совсем понял ее.

D слева рядом с U

Не существует окончательного руководства по поиску доказательств по диаграммам. Возможно, вам стоит написать один :)

Ответы (4)

Ищу руководство для школьников по поиску диаграмм

Не существует окончательного руководства по поиску доказательств по диаграммам. Возможно, вам стоит написать один :)

Матемаг1234 · Answer 1

Часть проблемы заключается в том, что многие математики, усердно занимающиеся категориальными построениями и размышлениями, думают, что большая часть этого очевидна, если вы посмотрите на диаграммы — просто следуйте по стрелкам, говорят они. Думаю, большинство новичков не согласятся, но почему-то никогда не вникает.

Для относительно простых конструкций, таких как коммутативные треугольники и квадраты, легко сказать, что они очевидны, поскольку их можно просто перевыразить в терминах старых добрых функциональных аргументов (выписать композиции явно). Но в реальном мире с этим механизмом далеко не уедешь, если не умеешь читать гораздо более сложные схемы. Даже доказательство леммы о змее в гомологической алгебре, которое сбивает с толку многих аспирантов, — мелочь по сравнению с некоторыми диаграммами, которые вы увидите в других областях этого предмета. Включая ряд трехмерных погонь со стрелками.

Так что я согласен с тем, что для новичков необходим хороший практический источник по этому материалу. Пока кто-то не напишет его, вам нужно немного покопаться и собрать лоскутный источник. Книга Пауло Алуффи « Алгебра: глава 0» содержит, вероятно, лучшее введение в поиск диаграмм и его связь с существующими в настоящее время категориями. Он действительно разработан как презентация для полных новичков — он делает очень хорошую работу и содержит много хороших упражнений для практики. Более общее и не менее полезное введение можно найти в книге Гарольда Симмонса « Введение в теорию категорий» . Два других, менее полных, но не менее полезных источника — это глава 4 «Основной абстрактной алгебры» Эша , которая доступна онлайн на веб-сайте Эша, и страницы 43–53 книги П. М. Кона.Введение в теорию колец . Я думаю, вы найдете все эти источники полезными.

«...это мелочь по сравнению с диаграммами, которые вы увидите в теории высших категорий ...» На самом деле в теории высших категорий очень мало гонок за диаграммами. Это встречается чаще (но все же не так часто, как кажется из этого вопроса или этого ответа) в гомологической алгебре и некоторых вещах с триангулированными категориями. Например, я думаю, что самая большая диаграмма, записанная во всей теории высших топосов, включает не более 6–8 объектов, а чаще всего 4.
@Dylan Хорошо, справедливо, я мало что знаю о теории высших категорий. Я отредактировал заявление соответствующим образом.

Чжэнь Линь · Answer 2

Что ж, первая проблема заключается в том, что не существует строгих соглашений по использованию и значению диаграмм. Хотя формальное определение существует — схема объектов и стрелок в категории $\mathbf{C}$ является функтором $\mathscr{F} \colon \mathbf{J} \to \mathbf{C}$ , для некоторой (небольшой) категории индексации $\mathbf{J}$ - на практике распечатанной схемы без поясняющих замечаний может оказаться недостаточно, чтобы определить, что $\mathbf{J}$ является. Например, рассмотрим традиционную диаграмму эквалайзера:

∙ \to ∙ ⇉ ∙

$\bullet \rightarrow \bullet \rightrightarrows \bullet$ «Очевидно», что две параллельные стрелки не равны. Так что это исключение из обычного правила, согласно которому все пути через диаграмму между парой вершин должны быть равными. Однако именно это соглашение имеет силу, когда «очевидно», что составные стрелки равны. Но я отвлекся.

Верно, что склеивание двух коммутативных диаграмм вдоль совпадающей пары путей дает коммутативную диаграмму. По сути, это дискретная деформация путей. Например, рассмотрим следующие диаграммы:

\begin{matrix} ∙ & \overset{ф}{\to} & ∙ \\ г ↓ & ↓ час \\ ∙ & \to_{к}^{} & ∙ \end{matrix} \begin{matrix} ∙ & \overset{ф^{'}}{\to} & ∙ \\ г^{'} ↓ & ↓ {час}^{'} \\ ∙ & \to_{к^{'}}^{} & ∙ \end{matrix}

$\require{AMScd} \begin{CD} \bullet @>{f}>> \bullet \\ @V{g}VV @VV{h}V \\ \bullet @>>{k}> \bullet \end{CD} \qquad \begin{CD} \bullet @>{f'}>> \bullet \\ @V{g'}VV @VV{h'}V \\ \bullet @>>{k'}> \bullet \end{CD}$ Предполагать

h = g^{'}

$h = g'$ . Чтобы убедиться, что схема

\begin{matrix} ∙ & \overset{ф}{\to} & ∙ & \overset{ф^{'}}{\to} & ∙ \\ г ↓ & г^{'} ↓ час & ↓ {час}^{'} \\ ∙ & \to_{к}^{} & ∙ & \to_{к^{'}}^{} & ∙ \end{matrix}

$\require{AMScd} \begin{CD} \bullet @>{f}>> \bullet @>{f'}>> \bullet \\ @V{g}VV @V{g'}V{h}V @VV{h'}V \\ \bullet @>>{k}> \bullet @>>{k'}> \bullet \end{CD}$ также коммутирует, нам нужно показать, что три пути между верхним левым и нижним правым углами равны. Но это очевидно, поскольку

k^{'} \circ k \circ g = k^{'} \circ h \circ f = k^{'} \circ g^{'} \circ f = h^{'} \circ f^{'} \circ f

$k' \circ k \circ g = k' \circ h \circ f = k' \circ g' \circ f = h' \circ f' \circ f$ .

Затруднительной операцией является добавление новых стрелок, поскольку коммутативность не совсем локальное свойство. Но можно немного облегчить жизнь, заметив, что мы можем разделить диаграмму на фрагменты, добавить стрелку в каждый фрагмент и проверить коммутативность, а затем снова склеить фрагменты.

Что касается существования и уникальности: единственные стрелки, которые гарантированно существуют, это те, которые получаются путем составления стрел. Что-то большее, чем это, требует специальных знаний о рассматриваемых объектах и стрелах.

Яска · Answer 3

Я думаю, что погоня за диаграммами — это не что иное, как использование инъективного и сюръективного гомоморфизма и точных последовательностей. Если вы хорошо их изучите, вы сможете найти их на диаграммах. Попробуйте свести диаграммы к более простым диаграммам, морфизмам или ранее доказанным леммам.

Потерянное определение · Answer 4

Просто чтобы добавить несколько книг к ответам: Simmons, Introduction to Category Theory и Riehl, Category Theroy in Context . В этих книгах есть специальные разделы, посвященные « искусству поиска диаграмм » (название раздела в Риле). В частности, в Риле есть полезные леммы, которые очень помогают осмыслить происходящее. Например, тот, который говорит, что если у нас есть два пути составных последовательностей морфизмов с общим доменом и доменом, то если кодомен или домен являются соответственно начальными или конечными объектами, то пути равны.

Ищу руководство для школьников по поиску диаграмм

кджо

D слева рядом с U

Ответы (4)

Матемаг1234

Дилан Уилсон

Матемаг1234

Чжэнь Линь

Яска

Потерянное определение

Проектная работа по алгебраической топологии (с категориальным привкусом): предложения по темам.

Категориальное введение в алгебру и топологию

Есть ли книги по теории элементарных категорий для нематематиков?

Введение в структуры Бурбаки и их связь с теорией категорий

Действительно ли хом-сеты живут в категории Set?

Теорема, которая вдохновила Денниса Салливана переключиться на математику

Текст по геометрии для средней школы?

Интересные задачи для нематематиков

Использование теории категорий в алгебраической топологии

Ищем ссылки на пифагорейские тройные подмножества