Катящийся камень на американских горках

Используя закон сохранения энергии, время не входит в отношения, и как потенциальная энергия гравитации, так и кинетическая энергия пропорциональны массе, поэтому масса уравновешивается. Поэтому, как вы указываете, вы можете рассчитать скорость в B и C, учитывая скорость в A (здесь ноль), используя закон сохранения энергии. Поскольку гравитация является консервативной силой, работа, совершаемая между двумя точками, не зависит от пройденного пути.

Используя подход силы/ускорения (ньютоновский подход), вам необходимо знать силу на пути и расстояние, на котором действует сила. Ваша диаграмма дает$x$положение, а также высоты точек А, В и С, но не форму пути вдоль этих точек. Для расчета скорости и времени пути нужно уравнение пути по пути от А до В до С, чтобы оценить составляющую силы тяжести по пути и пройденное по пути расстояние.

Да. Прелесть сохранения энергии в том, что в этом случае вы можете определить скорость, просто рассматривая изменения потенциальной энергии гравитации.

Предположим, есть какая-то неизвестная траектория$x(t)$со скоростью$v(t) = \frac{dx}{dt}$. я буду использовать$\int dt$символ для представления интеграла по траектории, интегрированного по времени, от начала до конца. я буду использовать$\int dx$для представления того же интеграла, но интегрирования по положению. Я назову начало "А" и конец "Б".

$\frac{1}{2}v(B)^{2} - \frac{1}{2}v(A)^{2} = \int \left(\frac{d}{dt}\frac{1}{2}v^{2}\right) dt = \int v \frac{dv}{dt} dt = \int \frac{dx}{dt}\frac{dv}{dt}dt = \frac{1}{m}\int F(t) \frac{dx(t)}{dt}dt = \frac{1}{m} \int F(x(t)) dx(t)$

Теперь обратите внимание, что у нас есть форма интеграла, которая зависит только от положения, поэтому мы можем ввести потенциал$V(x)$:$\frac{1}{m}\int F(x)dx = -V(B)/m + V(A)/m$

Итак, тогда

$\frac{1}{2}v(B)^{2} - \frac{1}{2}v(A)^{2} = -V(B)/m + V(A)/m$.

В середине мы использовали ньютоновские факты о том, что$v = \frac{dx}{dt}$и$\frac{dv}{dt} = a = F/m$. По сути, я показываю вам, что всякий раз, когда вы используете закон сохранения энергии, это эквивалентно вычислению интеграла по траектории: вы делаете доказательство один раз, а затем используете результат, чтобы сократить работу, обнаруживая, что вам больше не нужно время. информация в траектории!