Химический потенциал и состояние равновесия

Мой вопрос касается$dG=0$условие равновесия в системе, скажем, твердое тело + газ (вода и лед, если хотите).

Почти в каждом учебнике дается следующий рецепт для понимания фазового равновесия.

Во-первых, из законов термодинамики утверждается, что переход из одного состояния в другое (в однокомпонентной однофазной системе) не мог бы происходить эффективнее, чем

$$\delta Q \leq TdS \tag{1}$$ С использованием $dU = -pdV + \delta Q$отсюда мы заключаем $dU \leq -pdV + TdS$или $$dU + pdV - TdS \leq 0 \tag{2}$$

Представляем функцию энергии Гиббса,$G=U+pV-TS$, мы видим, что при постоянной температуре (T) и давлении (p)

$$dG = dU + pdV - TdS \leq 0 \tag{3}$$ В этом говорится следующее: если $p$и $T$остаются постоянными, то все, что может произойти с системой, приведет к уменьшению G. В противном случае мы находимся в равновесии и $G$остается постоянным. Все идет нормально.

Но тогда, в случае системы вода + лед, добавляются члены химического потенциала:

$$dU = -pdV + TdS + \mu_w dN_w + \mu_i dN_i \tag{4}$$

Если следовать логике (1) и (2), подставив обновленную версию$dU$, т.е. (4), то получаем следующий результат:

$$dG - \mu_w dN_w - \mu_i dN_i \leq 0 \tag{5}$$ Но в учебнике люди как-то попадают $dG \leq 0$вместо этого, а затем, используя (4) и определение G $$dG = d(U+PV-TS) = dU + pdV + Vdp - TdS - SdT = \\ = Vdp - SdT + \mu_w dN_w + \mu_i dN_i \tag{6}$$ утверждают, что при постоянном $p$и $T$во время равновесия верно следующее: $$dG = \mu_w dN_w + \mu_i dN_i = 0 \tag{7}$$ а в моем случае это (5).

Что не так в моей схеме рассуждений?