Хорошие и некрасивые числа в домашних заданиях и тестах

Я думаю, что буду в корне не согласен со многими ответами здесь.

Хорошие числа определенно облегчают задачу, и я использую их при первом знакомстве с концепцией; они делают студентов более удобными и позволяют им сосредоточиться на ключевой идее, которую я пытаюсь преподать. Но я никогда не полагаюсь на хорошие цифры в тестах или заданиях. Здесь три основные причины:

1. За прошедшие годы у меня было много студентов, которые действительно переставали понимать концепцию, когда им предъявлялись «уродливые» числа. Например, у меня были ученики, которые легко могли найти среднее значение 2 и 6, но когда их попросили найти среднее значение 2,3 и 6,7, они даже не знали, с чего начать. Это не проблема запутаться в вычислениях; дело в том, что они думают о «хороших» цифрах иначе, чем о «уродливых». В случае со средним значением проблема, вероятно, заключалась в том, что рассматриваемый студент думал о среднем как о «числе в середине», а не о «сумме, деленной на два», что имеет смысл при работе с целыми числами, но не иначе. Проблема в том, что вы можете'
2. Не аспирант, и Пер Александерссон отметил, что многие студенты используют тест «красивое число», чтобы определить, правильный ли их ответ — они склонны доверять ответу, если они получают «2», не так сильно, если они получают «2,134». Итак, с точки зрения «будьте добры к своим ученикам», вы должны использовать хорошие числа; но дело в том, что буквально в любом приложении, которое они будут использовать для этого материала позже в жизни, они не будут работать с задачами, которые были тщательно подобраны для получения хороших чисел. Если вы учите их чему-то, что, как вы ожидаете, они будут использовать позже, будет плохой услугой, если вы позволите им продолжать использовать тест «красивое число».
3. Грубо говоря, «хороших» чисел гораздо меньше, чем «уродливых». У меня были студенты, которые «решали» задачи, предполагая, что ответ будет целым числом, а затем угадывали и проверяли свой путь к успеху.

Тем не менее, если вы используете уродливые цифры, вам нужно пойти на некоторые уступки, чтобы это сработало. Вот что я делаю:

1. Я разрешаю использование научных (не графических) калькуляторов для каждого задания и теста.
2. Я допускаю неупрощенные ответы, за исключением случаев, когда проблема заключается в упрощении; так что они могут оставить свой ответ в виде сложной мешанины радикалов, если захотят.
3. Я специально предупреждаю их, что числа, используемые в некоторых задачах, могут быть беспорядочными, и я решаю «беспорядочные» задачи в классе.
4. Я уделяю некоторое время классу, чтобы научить методам оценки правильности вашего ответа, которые не полагаются на правильность числа; мой предпочтительный вариант - «приблизительный», когда вы используете контекст вопроса для оценки общего размера ответа (он положительный или отрицательный? Больше тысячи? И т. д.).
5. Задачи, связанные с уродливыми числами, как правило, занимают больше времени, чем задачи, связанные с красивыми числами — даже я обнаруживаю, что решаю медленнее, когда задача связана со странными дробями или десятичными знаками. Учитывайте это при написании тестов.
6. Задачи с некрасивыми числами более подвержены незначительным ошибкам, чем задачи с красивыми числами; например, вы, вероятно, не хотите, чтобы ответ на уроке исчисления считался «совершенно неправильным», потому что они набрали «2,146» вместо «2,156» в свой калькулятор. Я всегда предлагаю обширную частичную оценку на основе показанной работы и обычно не вычеркиваю ошибки, которые не свидетельствуют о непонимании или изменении сложности задачи. Для онлайн-тестов, чтобы это сработало, я разрешаю учащимся отправлять свои работы вместе с ответами.

Вы пишете: «Я думаю, что у меня есть метод автоматической оценки, так что это не проблема». Если вы собираетесь полагаться на автоматическую оценку, вам следует использовать легкие и простые числа.

Есть два способа получить неправильный ответ: неправильный метод и ошибка при копировании с вопроса на калькулятор и с калькулятора на лист ответов. Во время ручной оценки вы можете различать их, требуя от учащихся показать свою работу и оценивая ее. Автоматическая оценка имеет тенденцию придавать тот же вес незнанию того, как выполнять вычисления, и вводу одной неправильной цифры.

Использование простых, легко проверяемых чисел снижает риск ошибки калькулятора.

Хотя часть меня думает, что концепции обучения должны быть одинаковыми для красивых и некрасивых чисел, мой личный опыт говорит, что между ними есть разница (возможно, совсем небольшая).

Я ожидаю разницы: уродливые цифры мешают применять и изучать концепцию. Например, среднее (-1, 0, 1, 2, 3), (½, ⅓, ⅗) и (-1,254, 42,72). Первое я могу сделать в уме, просто применяя концепцию усреднения, сложение тривиально, деление простое, я просто думаю о концепции. Для других я не думаю о концепции, я думаю о дробях и более сложном сложении/делении.

Чтобы способствовать лучшему обучению и лучшему применению материала курса к реальным задачам, должны ли вы также включать домашнюю работу с уродливыми числовыми вводами и ответами?

Я только что утверждал, что уродливые числа являются препятствием для обучения, поэтому красивые числа предпочтительнее , имхо.

Как насчет тестов?

Одинаковый. (Кроме того, есть ли у студентов калькуляторы?)

В конечном счете, это зависит от того, чему вы пытаетесь научить.

Поскольку это сайт о высшем образовании, я отвечу в этом контексте.

Единственная «сложность» в «уродливых» числах — это выполнение с ними конкретных базовых операций, таких как сложение и так далее. Все до этого обычно делается алгебраически с использованием переменных ( x , y , z …). Предполагается, что студенты университетов уже умеют выполнять базовые арифметические действия даже с «уродливыми» числами. Это никогда не то, чему вы хотите учить в высшем образовании. Так что либо пусть ваши ученики используют калькулятор, либо используют «красивые» числа в своих данных. Если вы обеспокоены применимостью в реальном мире, то наверняка знаете, что сегодня каждый, кто должен выполнять такого рода задачи, работает с компьютером, который способен выполнять математические вычисления гораздо лучше, чем любой человек.

Что касается домашних заданий, сгенерированных компьютером, то я, как и многие из нас, вынужден был сделать это прошлой весной. Было не так уж сложно создавать «красивые» числа, даже когда мне нужно было создавать сложные линейные системы, например, для решения. Сделайте так, чтобы ваш вопрос зависел от нескольких параметров (скажем, 3-5) и убедитесь, что эти параметры принимаются целыми числами в разумном диапазоне (например, [-5,5]). Тогда, если вы не сойдете с ума от того, как вы получаете вопросы из параметров, вы в основном будете получать «красивые» числа. И поскольку я предполагаю, что вы не посмеете задать студентам вопрос, на который вы даже не взглянули, при беглом просмотре автоматически сгенерированных вопросов вы быстро обнаружите плохие крайние случаи.

Я хочу, чтобы в одном вопросе теста были уродливые числа, так как я хочу, чтобы студенты научились доверять своим вычислениям, а не использовать «ответ — хорошее число» в качестве метода проверки. Уродливые цифры отлично подходят для того, чтобы научить вас доверять методу и знаниям. Но чаще всего они просто раздражают.

Я не педагог. Я просто выпускник математики, работающий в смежной отрасли, но мой ответ был бы жестким «нет-нет» в отношении красивых чисел. В некоторых ответах утверждается, что учащиеся используют интуицию, чтобы узнать, верен ли результат. Не существует абсолютно никакого сценария, в котором интуиция была бы хорошей проверкой полученного результата (не говоря уже о том, что она бесполезна для выбора правильного метода расчета). Вы совершенно не хотите учить студентов полагаться на хороший результат. В другом ответе упоминается, что их использование избавляет от необходимости проверять их расчеты. Это абсолютно важный шаг, вы всегда должны проверять свои расчеты хотя бы один раз. Это процесс, который никогда не имеет недостатков. В противном случае вы можете услышать такие новости, как "

РЕДАКТИРОВАТЬ: на самом деле я чаще проверял свои расчеты, когда результат был действительно хорошим. Если бы это было не так, то я полагал, что использовал наилучший метод, который только мог придумать, и худшее, что могло случиться, — это потеря очка за неверный результат. К счастью, в основном у меня были профессора и преподаватели, которые оценивали метод, а не результат.

РЕДАКТИРОВАТЬ 2: Вы хотите научить своих учеников думать о решении, а не о том, как играть в систему. Те же самые студенты могут позже научиться искать юридические лазейки, чтобы выпускать наполовину законченный и иногда опасный продукт вместо того, чтобы делать то, что ожидалось (см. скандал с дизельгейтом, зачем работать над решением, если можно просто обыграть результат).

Каких студентов вы обучаете? Если вы обучаете учащихся начальной или старшей школы, используйте те числа, которые подходят для вашей учебной программы. Если вы обучаете студентов-инженеров, вам следует использовать реальные цифры.

Вы говорите : «Во время моих инженерных исследований казалось, что было много задач, которые имели хорошие исходные данные и/или ответы».. Ух ты, какое инженерное дело ты изучал. После того, как я прошел половину своего первого настоящего инженерного курса, почти каждая проблема, которую я решала, не имела четкого решения — мы использовали метод проб и ошибок, чтобы решить почти каждую проблему (на программируемых калькуляторах первого поколения (например, HP-25)). Цифры имели смысл — теплообменник мог быть рассчитан, например, на 100 000 БТЕ/ч, а не на какое-то странное число. Но трубы, идущие к этому оборудованию, могут быть 4-дюймового графика 40 (с внутренним диаметром 4,026 дюйма - у меня всегда был под рукой буклет со спецификацией труб, а также паровые столы в моей сумке). Когда я использовал идеальную газовую постоянную R, я всегда использовал версию с 5 значащими цифрами (и я мог отбарабанить эти значения R в 4 или 5 различных системах единиц - я учился в Канаде в середине перехода от имперской системы к метрической). единицы измерения).

При обучении вы хотите использовать числа, которые заставят вашего ученика думать и не бояться решать проблемы, которые они увидят, когда будут выполнять свой дизайн-проект для старшеклассников или когда они получат свою первую работу. Нет смысла использовать числа с гораздо большей точностью, чем в реальных задачах, но вы обманываете их, если делаете все слишком «милым», имея задачи, в которых целые числа используются в качестве входных данных, и особенно целые числа в качестве выходных данных.

Если вы действительно хотите бросить им вызов (и научить их понимать числа, которые они используют), попросите их купить или одолжить логарифмическую линейку и устройте им тест «Калькуляторы запрещены» (кстати, если вы сделаете это, вы, вероятно, хотите убедиться, что задачи достаточно легко решить с помощью логарифмической линейки — много умножений и делений и немного больше).

В тесте вы не хотите, чтобы учащиеся всегда были не уверены, правильный или неправильный ответ они получили, когда дело доходит до алгебры, поэтому, как правило, предпочтение отдается хорошим числам. Кроме того, если вы просто хотите проверить их на знание основных методов и предполагаете, что они могут работать с более сложными числами, запутывание чисел будет отвлечением. По крайней мере, вы должны дать учащимся представление о том, чего ожидать. Если все ответы, кроме одного, содержат хорошие ответы, а другой — нечеткий, то учащиеся, получившие запутанный (но правильный) ответ, будут тратить все свое время на перепроверку своей алгебры, в то время как они могли бы тратить свое время на другие вопросы. проблемы.

На HW я думаю, что беспорядочные числа — это нормально, но я думаю, что было бы уместно написать «Округлите свой ответ до сотых».

Однако для классов более низкого уровня хорошей идеей будет использование некоторых запутанных чисел в какой-то момент на HW. Однажды во время выпускного экзамена по предварительному исчислению студентка подумала, что ошиблась при поиске вертикальной асимптоты, потому что получила число, не являющееся целым числом. По-видимому, вертикальные асимптоты могут возникать только при целых значениях. Что ж, она еще раз посмотрела на свою работу, и ее озарило, когда она обнаружила свою ошибку и поняла, что асимптота на самом деле имеет целочисленное значение.

Я имею привычку давать большое количество заданий и тестов. Например, «в основном хорошим» числом является Sqrt[2], или Log[6], или e^7. Таким образом, студенты могут давать ответы в точной форме (без плавающей запятой) без особых трудностей.

Я бы держался подальше от таких вещей, как Sqrt[1+Sqrt[2]]$, которые я считаю действительно уродливыми. Студенты знают об этом, поэтому, если они получают ответ вроде Sqrt[21/213], они подозревают, что в их вычислениях, вероятно, есть ошибка.

Теперь у меня также есть задания по некоторым курсам, которые являются полностью числовыми (например, построение некоторых решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений). Даже в этих случаях я попытаюсь найти «хорошие» граничные условия, чтобы студенты могли проверить, соответствует ли их интуиция числовому выводу.

В использовании уродливых чисел есть педагогическое преимущество: пользователи будут стараться избегать их и изучать алгебру в процессе, манипулируя символами вместо определенных целых чисел, дробей или десятичных расширений. Идея состоит в том, что вы максимально упростите выражение, прежде чем подставлять реальные цифры.

Так что это действительно зависит от того, чему вы пытаетесь научить.

Кстати, то, что вы называете «настоящим» числом, называется «десятичным числом нецелых чисел», что является довольно уродливым именем, поскольку -1, 0, 1/2 или 1 тоже являются действительными числами.

Было предложено, чтобы я превратил свой комментарий в ответ.

• Используйте «уродливые» номера для всей страницы заданий.
• Возьмите все результаты и добавьте еще несколько «уродливых» чисел в качестве отвлекающих факторов. Перечислите их в нижней части рабочего листа.

Это означает, что студенты будут практиковаться в работе с «уродливыми» числами. Они могут легко убедиться в отсутствии арифметической ошибки, найдя свой результат в списке, но угадывание не даст проходного балла. Если числа нет в списке, первым делом нужно проверить, не опечатались ли они на своем калькуляторе или не ошиблись в сумме.

Если целью домашнего задания не является проверка их способности выполнять базовые арифметические действия, почему бы не дать переменные, а не числа, и ответ должен быть выражением в терминах этих переменных.

Чтобы перейти от этого к числовому ответу, достаточно выполнить несколько простых, но утомительных арифметических вычислений.

Использование более подходящих чисел позволяет сделать расчеты в тестах более плавными. Я думаю, что это вообще хорошо.

Однако иногда бывают ситуации, когда вы явно хотите научить основам символьных вычислений, когда, например, рациональные числа, такие как 1/3, гарантируют, что задачу нельзя решить численно без ведущей точности. Иногда в вопросах тригонометрии они могут полагаться на тот факт, что промежуточные результаты выражаются в долях числа пи.

В одном из примеров упоминалось, что при запросе среднего числа числа 2,3 и 6,7 лучше проверяют понимание, чем хорошие числа. Однако я бы сказал, что на самом деле это хорошие числа, поскольку они добавляются к круглому числу и могут легко делиться на 2, поэтому в результате получается четкое 4,5 без необходимости калькулятора или риска ошибки округления.