Кинетический член SU(2) как след

Есть ли простой способ переписать кинетический член SU (2) в виде следа? Как в

л "=" − 1 4 Ф → мю ν Ф → мю ν "=" − 1 2 т р [ ( Ф → мю ν ⋅ т → 2 ) 2 ] .

Следует ли это из свойств матриц Паули?

Кинетический член любой калибровочной теории равен Т р ( Ф ∧ ⋆ Ф ) . Я не совсем понимаю ваш вопрос.
+1: след уже есть в любой калибровочной теории. Он называется лагранжианом Янга-Миллса.

Ответы (2)

След — это просто внутренний продукт алгебры Ли. Напряженности полей оцениваются алгеброй Ли, т. е. Ф мю ν является элементом алгебры Ли и может быть записан в виде линейной комбинации образующих: Ф мю ν "=" ∑ а Ф мю ν а т а . Обычно генераторы нормализуются так, что ⟨ т а , т б ⟩ "=" тр ⁡ т а т б "=" с дельта а б , для некоторой постоянной с , из которого вы получаете тр ⁡ Ф мю ν Ф мю ν "=" Ф мю ν а Ф а мю ν .

Мотивация для этого состоит в том, что гипотетический калиброванный скаляр спинорного поля соединяется с Н калибровочные поля А а через ковариантную производную, и каждый из этих Н калибровочные поля получают свой кинетический член вида Ф мю ν Ф мю ν .

Вот что меня смутило (мне просто было лень работать). Что отвечает на мой вопрос, так это следующая простая алгебра: Начиная со следа, мы находим*

т р { ( Ф → мю ν ⋅ т → 2 ) 2 } "=" т р { ( Ф 1 ⋅ т 1 2 + ⋯ ) ( Ф 1 ⋅ т 1 2 + ⋯ ) } "=" т р { ( Ф 1 Ф 1 ( т 1 ) 2 4 + Ф 1 Ф 2 ( т 1 т 2 ) 4 + Ф 2 Ф 1 ( т 2 т 1 ) 4 ⏟ 0 + ⋯ ⏟ 0 + Ф 2 Ф 2 ( т 2 ) 2 4 + Ф 3 Ф 3 ( т 3 ) 2 4 ) } "=" † т р { ( Ф 1 Ф 1 ( т 1 ) 2 4 + Ф 2 Ф 2 ( т 2 ) 2 4 + Ф 3 Ф 3 ( т 3 ) 2 4 ) } "=" 1 4 Ф → мю ν ⋅ Ф → мю ν т р { 1 2 × 2 } "=" 1 2 Ф → мю ν ⋅ Ф → мю ν .

Отношение

т а т б "=" я ∑ с ε а б с т с + дельта а б я
использовался в † .

* Индексы Лоренца скрыты, чтобы не загромождать.

Кинетический член SU(2) как след
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v