Моды КТП и неприводимое представление калибровочной группы

Это относится к расчету в разделе 3.3, начиная со страницы 20 настоящего документа .

  • Я наткнулся на аргумент, который, кажется, говорит о том, что «ограничение закона Гаусса» заставляет калибровочную теорию компактных пространств быть такой, чтобы физические состояния, по которым суммируется статистическая сумма, были калибровочно-инвариантными.

Я хотел бы услышать разъяснения приведенного выше аргумента.

  • Также сказанное выше, кажется, приводит (совершенно неочевидно для меня) к выводу, что эти физические состояния соответствуют следам произведений операторов, действующих на фоковский пространственный вакуум. Мне непонятно, как эта трассировка определяется так, что даже после трассировки она остается оператором.

{Кажется, что очень часто хочется, чтобы эти операторы находились в "примыкании" к калибровочной группе. Смысл и мотивация этого требования мне непонятны. (Я знаком с понятием присоединенного представления групп Ли)}

  • В связи с вышесказанным я вижу еще одно утверждение, которое, кажется, говорит о том, что безмассовые моды будут отсутствовать для любой калибровочной группы теории Янга-Милла и любого содержания материи, если теория находится на компактном пространстве. Верно ли вышесказанное? Почему (да или нет)?

  • Является ли в таких сценариях терминология «основных возбуждений» теории тем же самым, что и одночастичные состояния? Как эти одночастичные состояния вообще связаны с физическими состояниями, построенными выше?

Что из этого имеет в виду, когда люди говорят о «модах» КТП?

  • Если калибровочная симметрия существует по определению, она будет коммутировать с гамильтонианом, и, следовательно, состояния теории на каждом уровне энергии будут формировать представление калибровочной группы. Можно ли что-то сказать о его сводимости или нет?

Утверждение, кажется, состоит в том, что если есть сказать н Е кванты на энергетическом уровне Е (преобразование под скажем представление р Е калибровочной группы), то при подсчете своего вклада в статистическую сумму фактор Больцмана должен дополнительно взвешиваться числом 1 размерные представления ("синглеты" ?) в н -кратно симметричная (для бозонов) или антисимметричная (для фермионов) тензорная степень р Е .

Буду рад узнать разъяснения вышеизложенного.

Может быть, я упускаю что-то очевидное, но разве физические состояния в калибровочной теории всегда должны быть калибровочно-инвариантными?

Ответы (1)

Вопросов много, но на них есть довольно простые ответы, так что вот они:

  • Закон Гаусса просто див  Д → знак равно р в электродинамике. Обратите внимание, что оно не содержит производных по времени, поэтому на самом деле это не уравнение, описывающее эволюцию: это уравнение, ограничивающее допустимые начальные условия. В более общем смысле это уравнение движения, которое вы получаете, варьируя лагранжиан относительно А 0 , временная составляющая калибровочного поля, поэтому соответствующее уравнение движения считает дивергенцию электрического поля за вычетом электрических источников (плотности заряда), которые должны быть равны ему. Эта разница есть не что иное, как генератор общего U ( 1 ) группе или любой другой группе, если вы рассматриваете более общие теории, поэтому классическое уравнение, приведенное выше, превращается в квантовое уравнение, в котором ( див  Д → − р ) | ψ ⟩ знак равно 0 что просто означает, что государство | ψ ⟩ является калибровочно-инвариантным.

  • Следы, с которыми вы здесь сталкиваетесь — в неабелевых теориях — это просто следы над фундаментальными (или, реже, присоединенными) индексами группы Янга — Миллса. Они отличаются от следов в гильбертовом пространстве. Вы должны различать различные виды индексов. Трассировка некоторых цветовых индексов не меняет того факта, что у вас все еще есть операторы.

  • Очевидно, что «присоединенное к калибровочной группе» то же самое, что и «присоединенное представление группы Ли, используемое для калибровочной группы».

  • Неверно, что все компактные пространства устраняют все безмассовые поля — например, линия Вильсона калибровочного поля остается совершенно безмассовым скалярным полем на тороидальных компактификациях в суперсимметричных теориях — но в большинстве других общих случаев верно, что компактификация разрушает безмассовость всех полей. Все фурье-компоненты (или ненулевые нормальные) полей, нетривиально зависящие от дополнительных измерений — моды Калуцы-Клейна — становятся массивными из-за дополнительного импульса в дополнительных измерениях. Но даже «нулевые моды» становятся массивными в общих теориях из-за Казимироподобных потенциалов, возникающих в результате компактификации.

  • Основные возбуждения — это не «то же самое», что и одночастичные состояния. На самом деле мы хотим использовать слово «возбуждение» именно в том контексте, когда целью является описание произвольных многочастичных состояний. Но основные возбуждения — это просто операторы рождения (и соответствующие операторы уничтожения), построенные преобразованием Фурье полей, которые появляются в лагранжиане или являются элементарными каким-либо подобным образом.

  • Вы не построили никаких «конкретных состояний выше», поэтому я не могу сказать вам, как связаны некоторые другие состояния, которые вы не описали. В связи с этим Ваш вопрос остался расплывчатым. Все они представляют собой состояния с частицами в гильбертовом пространстве, но почти все состояния можно классифицировать таким образом.

  • Модой квантового поля является член некоторого вида разложения Фурье, или — для более общих компактификаций и фонов — другой член (такой как сферическая гармоника), который является собственным состоянием энергии, т. е. эволюционирует как опыт ⁡ ( Е н т / я ℏ ) со временем. Так, например, поле Икс ( о ) для периодического о можно записать в виде суммы ниже. Индивидуальные условия фиксированной н - или фактор Икс н или функция, которая его умножает (эта терминология немного зависит от контекста) - называются режимами.

    ∑ н е Z Икс н опыт ⁡ ( я н о − я | н | т )

  • Калибровочная симметрия должна коммутировать с гамильтонианом, потому что мы хотим запретить калибровочно-неинвариантные состояния, а запретив их в начальном состоянии, они также должны отсутствовать в конечном состоянии. Значит, должна быть симметрия. С другой стороны, теория представлений тривиальна, поскольку, как я сказал в самом начале, мы требуем, чтобы физические состояния были калибровочно-инвариантными; это был комментарий к закону Гаусса: состояния должны уничтожаться всеми операторами типа див  Д → − р которые являются просто образующими калибровочной группы в различных точках. Другими словами, все физические состояния должны быть синглетными под калибровочной группой. Вот почему термин «симметрия» несколько вводит в заблуждение: некоторые люди предпочитают называть его «калибровочной избыточностью». Так что гильбертово пространство заведомо вполне сводимо — к произвольному числу синглетов. Вы можете свести его к мельчайшим кусочкам, которые существуют в линейной алгебре — одномерным пространствам.

  • Я только что еще раз объяснил вам, почему все физические состояния являются синглетами калибровочной группы. Дело в том, что н -частичные состояния с идентичными частицами полностью симметричны или полностью антисимметричны, сводится к основному пониманию того, что в квантовой теории поля частицы идентичны и их волновая функция должна быть симметричной или антисимметричной (для бозонов и фермионов), поскольку соответствующие операторы рождения коммутируют (или антикоммутативные) друг с другом.

@Lubos Большое спасибо за это прекрасное объяснение. Кажется, вы утверждаете, что калибровочная инвариантность вынуждает каждое из «физических состояний» (по которым суммируется статистическая сумма) лежать в одномерных подпредставлениях калибровочной группы на соответствующим образом симметричной тензорной степени одночастичных гильбертовых пространств. правильно? Не могли бы вы подтвердить правильность моего понимания?
@Lubos Итак, набор n фермионов на определенном уровне энергии может лежать в любом из 1-мерных подпредставлений калибровочной группы на n-кратной антисимметричной тензорной степени гильбертова пространства состояний любого из фермионы. Значит, эти разные синглеты n фермионов неразличимы во всех отношениях?
@Lubos Можете ли вы объяснить, как это понятие калибровочно-инвариантных «физических состояний» (которые могут содержать произвольное количество частиц) отличается от терминологии «возбуждений», которые, по-видимому, также содержат многочастичные состояния.
@Lubos Также, если бы вы могли привести пример правильного способа записи индексов операторов КТП с учетом их калибровочных индексов и индексов гильбертова пространства, чтобы было ясно, что трассировка по первому типу по-прежнему оставляет нам операторы.
Уважаемый @Anirbit, я надеюсь, что ваша интерпретация верна, хотя вы можете скрыть то, чего я не вижу. ;-) Вы просто разлагаете любое предполагаемое представление калибровочной группы на неприводимые повторения, а физические состояния могут быть только синглетами. Я не совсем понимаю, какое отношение калибровочная инвариантность имеет к одинаковой природе фермионов, это два независимых правила. Калибровочная инвариантность ограничивает физические состояния «локально», но когда вы создаете несколько фермионов в разных местах, полный волновой функционал остается антисимметричным.
Уважаемый Anirbit, мы никогда не пишем операторы в КТП - и, по сути, даже в КМ - с их "индексами гильбертова пространства". Тот факт, что они являются операторами, иногда обозначается шапкой над символом (буквой), но это также часто опускается. Вся цель состоит в том, чтобы говорить об «операторах», а не о «матрицах», чтобы мы могли сделать уравнения независимыми от оснований, чтобы нам не приходилось все время говорить о конкретных матричных элементах. Например а † ( к ) это оператор создания, который имеет определенные матричные элементы относительно любого базиса, но нам не нужно постоянно записывать все эти числа.
Следы могут по-прежнему быть следами по индексам калибровочных групп и/или по гильбертовому пространству (а след оператора всегда не зависит от выбора базиса!), и вы должны понять из контекста или подробной записи - "tr " vs "Tr" и так далее - какой есть какой. Например, Тр  ( р . . . ) всегда является следом над гильбертовым пространством, а следы с большим количеством Ф мю ν или А мю внутри, вероятно, следы над индексами калибровочной группы. Вы спрашиваете об обозначениях, которые могут отличаться.
@Lubos Должен ли я думать об операторах, действующих на тензорное произведение гильбертова пространства и представление калибровочной группы? Таким образом, эта трассировка в этом смысле будет означать трассировку более поздней компоненты тензорного произведения? Что касается вашего первого комментария, я имел в виду, что требование калибровочной инвариантности к «физическим состояниям» играет роль, определяя представление, симметричную или антисимметричную тензорную мощность которого следует рассматривать.
Уважаемый Anirbit, из вашего вопроса я не могу определить, о какой трассировке вы говорите, поэтому я не могу вам сказать, что вы трассируете. Ты должен это знать. Это зависит от «ситуации», но вы не сказали мне, какова ситуация. Что касается тензорных произведений, калибровочная инвариантность приводит к устранению нефизических поляризаций фотона (а также глюонов, W/Z-бозонов и гравитонов в ОТО). Калибровочная инвариантность имеет генераторы «в каждой точке», поэтому это фактически означает, что каждый отдельный фотон в многочастичном состоянии должен быть калибровочно-инвариантным отдельно. Это было то, что вы спрашиваете?
@Lubos Motl Не могли бы вы подробнее рассказать о том, почему закон Гаусса (уравнения движения А 0 ) обеспечивает соблюдение условия цветового синглета только в компактном пространстве (-раз?), а не в плоском пространстве? Таким образом, в компактном пространстве (времени?) ограничение является следствием закона Гаусса? И со ссылкой на статью я сейчас связал определение этой фундаментальной энергии/моды. Е я поля, которое, кажется, полностью определяется представлением р я в котором лежит это поле?
Моды КТП и неприводимое представление калибровочной группы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v