Вопрос о траекториях частиц в формализме симплектического многообразия

В этом частном случае симплектическое многообразие является кокасательным расслоением к сфере. Кокасательное расслоение всегда является симплектическим многообразием, которое можно интерпретировать как фазовое пространство для частицы, блуждающей по многообразию. Положение частицы - это положение на исходном многообразии, а импульс частицы - это (скалярное кратное) кокасательный вектор. Это определяет фазовое пространство для движения частиц.

Вы можете задаться вопросом, почему вектор котангенса , а не вектор тангенса . Причина в том, что именно импульс или скорость являются инвариантом (изменение фазы со временем в квантовой механике, приращение действия во времени в классической). Если это не интуитивно понятно, не беспокойтесь, просто продолжайте читать, это математически очевидно ниже.

Чтобы определить симплектическое многообразие, вам нужна симплектическая форма, которая представляет собой объект, который переводит градиент скалярной гамильтоновой функции в вектор фазового пространства (вектор в касательном расслоении фазового пространства, касательное расслоение кокасательного расслоения ), который говорит вам, как вещи перемещаются в фазовом пространстве в ответ на гамильтониан. В этом случае симплектическая форма переводит градиент скалярной функции энергии на кокасательном расслоении (не на сфере) в векторное поле на кокасательном расслоении (не на сфере). Это совершенно интуитивно понятно: гамильтониан зависит как от положения, так и от импульса:

Пусть точка сферы имеет координаты s^i, а кокасательный вектор - p_i. Для функции Гамильтона H (s, v) уравнения Гамильтона имеют вид

$${ds^i\over dt} = {\partial H\over \partial p^i}$$ $${Dp_i\over Dt} = -{\partial H \over \partial s_i}$$

Это ковариантное уравнение --- производная положения является вектором, а ковариантная производная ковектора является ковектором, поэтому левая и правая части тензорно согласованы. Это видно из последовательной картины верхних и нижних индексов.

Отсюда вы получаете математическое обоснование того, почему кокасательная расслоение — производная по p должна давать вектор, другими словами, что-то, что соединяет точки с ковектором, образуя скаляр. Градиент относительно точек ковектора с ковектором, чтобы сделать скаляр (это просто математический способ сказать, что индексы находятся в нужном месте).

Причина существования ковариантной производной по p, а не по s, заключается в том, что кокасательное расслоение является плоским в кокасательных направлениях (это векторное пространство). Кокасательное расслоение не является плоским только вдоль сферы.

Если H={1\over 2m} p_i p_j \delta^{ij}, результатом является геодезическое уравнение:

$${D\over Dt} {ds^i\over dt} = 0$$

по сфере со скоростью${p^i\over m}$, и вы можете видеть, что это большой круг с постоянной скоростью по симметрии или формально, решив уравнение после выбора частицы, которая первоначально лежала на экваторе, с ее скоростью в$\phi$направление в стандартных сферических координатах (или как вам угодно).

Эта проблема слишком тривиальна. Если вам нужен случай, когда интересно движение кокасательного расслоения, вы должны выбрать потенциальную функцию на сфере или рассмотреть движение в групповом многообразии SO(3), решением которого является волчок.