Классический полевой предел квантового поля электрона

Классический предел бозонных квантово-механических систем как с конечными, так и с бесконечными степенями свободы довольно хорошо понятен с математической точки зрения (с полной строгостью и для довольно общих квантовых состояний; см. ссылки в конце).

С фермионами , с другой стороны, ситуация сложнее. Дело в том, что на это намекает ответ @Virgo, т. е. что по принципу исключения довольно сложно трактовать предел большого числа фермионных частиц.

Насколько я знаю, этот вопрос можно решить в два этапа. 1) Первым шагом является переход от пространства Фока и квантовой динамики поля к своего рода классической динамике фермионов поля (вы можете видеть, что как приближение среднего поля$N\to\infty$). В то время как для бозонов результатом такой процедуры является эффективная динамика в одночастичном пространстве, для фермионов вы по-прежнему имеете динамику, включающую все разные компоненты с разным числом частиц. Однако может быть возможным (например, в случае несамовзаимодействующих фермионов), что динамика может быть фактически ограничена каждым$n$- сектор частиц. 2) Теперь предположим, что у вас есть динамика среднего поля, которая ограничивается каждым сектором. В секторе одной частицы у вас будет, скажем, уравнение Дирака для одного электрона во внешнем потенциале. Теперь вы можете использовать стандартные инструменты (бозонного/квантово-механического) квазиклассического анализа, чтобы получить классическую динамику частицы, принимая также во внимание спин, в пределе$\hbar\to 0$.

Шаг (2) был выполнен, например , здесь для релятивистских фермионов. В случае нерелятивистских самодействующих фермионов эта двухшаговая процедура недавно была выполнена с полной строгостью, получив Хартри-Фока для среднего поля$N\to\infty$приближение, а уравнение Власова, то в$\hbar\to 0$предел (потому что для самодействующих фермионов вы не можете просто ограничиться фиксированным сектором частиц, потому что динамика включает другие сектора, поэтому вы должны рассматривать все частицы сразу, получая, таким образом, уравнение Власова). Ссылки для шага (1) это и для шага (2) это .

Замечу, что и для нерелятивистских бозонов можно сделать как средний, так и классический предел, и это проще, чем для фермионов. Это было сделано, например , здесь . Однако для релятивистских бозонных полей и квантово-механических систем можно просто сделать классический предел$\hbar\to 0$чтобы получить либо классическую динамику поля, либо классическую динамику частиц. Последнее было сделано строго для практически любой «мыслимой» системы с использованием результатов, полученных из псевдодифференциального исчисления Вейля-Хёрмандера и так называемых мер Вигнера . Первое намного сложнее, но недавно были получены некоторые (немногие) результаты, в основном здесь , здесь и здесь .

Эта формула для бозонов. В пределе больших частиц бозонное квантовое поле можно аппроксимировать классическим полем. Электроны — это фермионы, и по принципу запрета Паули в каждом состоянии может быть только одна частица. Таким образом, вы не можете перейти к пределу больших частиц так же, как вы можете это сделать для бозонного поля, которое может иметь много частиц в каждом состоянии. По этой причине невозможно получить классический полевой предел для поля электрона. Для нерелятивистских электронов квантовая теория поля сводится к квантовой механике многих частиц. Этот предел не распространяется на фотоны, поскольку они всегда релятивистские.

В обзоре построены фермионные когерентные состояния с истинно классическим поведением.

Чжан, В.М., и Гилмор, Р. (1990). Когерентные состояния: теория и некоторые приложения. Reviews of Modern Physics, 62(4), 867. http://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.62.867 .

Второй тип фермионных когерентных состояний получается путем обработки коэффициентов в вашем выражении как переменных Грассмана. Это дает обобщенный классический предел, в котором есть классические антикоммутирующие переменные — такие же, как в фермионных интегралах по путям.