Прежде всего, мне трудно найти какое-либо хорошее определение того, что на самом деле представляет собой сопряженная пара с точки зрения физических переменных, и тем не менее я читал ряд различных вещей, которые используют тот факт, что две переменные являются сопряженной парой, чтобы оправдать вещи.
Например, время от времени я буду видеть что-то, что будет говорить что-то вроде «мы знаем, что коммутатор этих переменных отличен от нуля, потому что они представляют собой сопряженную пару».
Кроме того, я пришел к выводу, что положение и импульс являются сопряженной парой, как энергия и время. Однажды я увидел, что мнимая и действительная компоненты электрического поля представляют собой сопряженную пару.
Итак, кажется, что если я взял две переменные и их квантово-механические операторы не коммутируют, то они представляют собой сопряженную пару. Хотя мне это кажется не совсем правильным... Или, по крайней мере, это неубедительное определение, потому что оно не имеет ничего общего с классикой.
Итак, это подводит меня к двум вопросам:
1. Как определить сопряженную пару переменных?
2. Какую важную роль играют сопряженные пары как в классической, так и в квантовой механике?
Пусть задано симплектическое многообразие и две функции .
Определение. Две функции и составляют каноническую пару , если существует атлас локальных канонических / координатных функций Дарбу
Согласно определению в Википедии, две переменные являются сопряженными, если одна из них является преобразованием Фурье другой. Что это значит? ну, вы, вероятно, знаете, что преобразование Фурье функции Гаусса с это еще один гаусс со стандартным отклонением .
Это означает, что если мы попытаемся измерить одну из переменных в системе, которая дает нам высокую точность по одной из них, другая будет иметь большую неопределенность. Отличным примером из Википедии является время и частота звуковой волны. Допустим, вы хотите измерить центр синхронизации звуковой волны звука и частоты. Вы можете легко получить частоту очень длинной волны, но ошибка при определении времени будет огромной. Противоположность идет по кругу для очень короткого и резкого звука. Это часто происходит во многих других классических системах. Упражнение заключается в том, что в QM любые две сопряженные переменные будут демонстрировать сходное свойство. Если у вас есть два некоммутативных оператора, например и , которые не коммутируют, вы можете вывести принцип неопределенности: , и опять же, если вы сможете измерить один из них с очень высокой точностью, у другого будет огромная ошибка. Все дело в гауссианах
С точки зрения физических переменных сопряженные пары происходят из лагранжевой механики. Если у вас есть координата x, вы можете получить соответствующий импульс p из функции Лагранжа L, которая представляет собой разность кинетической энергии T за вычетом потенциальной энергии V. Например, L = TV. Тогда импульс определяется частной производной лагранжиана по скорости dx/dt. Если сделать «каноническое» преобразование координат x и p в другие координаты Q и P, то Q и P аналогичным образом связаны с новым лагранжианом.
На такие канонические пары часто ссылаются при построении квантовых гамильтонианов с использованием принципа соответствия, чтобы доказать, что те же самые пары из лагранжевой механики также должны быть канонически сопряжены в квантовой механике и, следовательно, должны иметь те же коммутационные соотношения, что и x и p.
Хорошее обсуждение здесь: https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_transformation
Я считаю, что обычное использование термина «сопряженная пара» просто означает, что две динамические переменные имеют скобку Пуассона .
тпаркер
Qмеханик