Почему X ^ X ^ \ шляпа X и P ^ P ^ \ шляпа P не коммутируют в квантовой механике?

Идея восходит к Гейзенбергу. Он считал, что физика может описывать только величины, которые можно измерить экспериментально, и стремился разработать математическую теорию, которая отражала бы это и правильно предсказывала относительные интенсивности спектральных линий.

В классической физике интенсивность излучения зависит (в первом приближении) от электрических диполей, которые зависят от положения электронов. Чтобы учесть тот факт, что положение электронов нельзя измерить во время перехода, он ввел число$x_{nm}$охарактеризовать положение при переходе от$n\to m$. Он также представил$v_{nm}$для скоростей электронов при переходах и связанного с ними ускорения$a_{nm}$.

В конце концов Гейзенбергу удалось воспроизвести уровни энергии.$E_n$(собственно их отличия$E_n-E_m$) с использованием этих величин, но только в том случае, если величины удовлетворяют «необычным» свойствам комбинации

История гласит, что Паскуаль Джордан встретил Гейзенберга в поезде в то время, когда Гейзенберг работал над этим. Джордан, имевший математическое образование, распознал правило комбинации как матричное умножение. Джордан вместе с Максом Борном и Полем Дираком понял, что использование некоммутативных величин было необходимо для описания Гейзенберга.

Дирак, в частности, постулировал, что правила умножения должны следовать из динамических соображений; вдохновленный принципом соответствия, он смог с точностью до общего множителя связать классическую скобку Пуассона с квантовой скобкой, чтобы найти теперь известную

Существует несколько версий этого открытия. Самый исторический — Макс Джаммер , который смог лично взять интервью у некоторых действующих лиц этой истории. Есть также интересный и более свежий текст Роланда Омнеса , но он не так много внимания уделяет истории. Я уверен, что есть и другие.

Редактировать: прочитав учетную запись @hyportnex, я нашел Jammer онлайн и проверил. Счет гипортнекса точен, когда дело доходит до признания Борном матричной формы выражения Гейзенберга. Что касается истории с поездом: это Борн встретил Джордана в поезде. Цитата из Джаммера, стр. 109:

Случилось так, что Борн, ехавший поездом в Ганновер, рассказал своему коллеге из Геттингена о быстром прогрессе своей работы, но упомянул также и об особых трудностях, связанных с вычислениями с матрицами. К счастью и почти по воле судьбы, Джордан, сидевший в том же купе в поезде, подслушал этот разговор. Затем на станции в Ганновере Джордан представился Борну, рассказал ему о своем опыте работы с матрицами и выразил готовность помочь Борну в его работе.

Для изучения истории предмета я рекомендую van der Waerden: Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications). В этой книге обсуждается только история матричной механики, поэтому развитие волновой механики (де Бройль, Шредингер и т. Д.) Оставлено для никогда не законченного / неопубликованного 2-го тома. Для написания этой книги Варден связался напрямую с главными действующими лицами: Паули, Гейзенбергом, Борном, Джорданом и др. Позвольте мне процитировать письмо, которое Варден получил от Борна, см. стр. 36-37.

Гипотеза Борна о pq — qp

19 июля Борн сел на поезд в Ганновер, чтобы принять участие в собрании Deutsche Physikalische Gesellschaft. Его собственный отчет, подтвержденный показаниями Джордана, гласит:

Послав статью Гейзенберга в Zeitschrift fur Physik для публикации, я начал размышлять о его символическом умножении и вскоре так увлекся им, что думал весь день и едва мог спать по ночам. Ибо я чувствовал, что за этим стоит что-то фундаментальное... И однажды утром... Я вдруг прозрел: символическое умножение Гейзенберга было не чем иным, как матричным исчислением, хорошо известным мне со студенческих лет по лекциям Розанеса в Бреслау. Я нашел это, просто немного упростив обозначения: вместо$q(n, n+\tau)$Я написал$q(n, m)$, и переписав гейзенберговскую форму квантовых условий Бора, я сразу понял их формальное значение. Это означало, что два матричных произведения$\mathbf{pq}$и$\mathbf{qp}$не идентичны. Я был знаком с тем фактом, что умножение матриц не является коммутативным; поэтому я не был слишком озадачен этим результатом. Более внимательное рассмотрение показало, что формула Гейзенберга давала только значение диагональных элементов (m=n) матрицы pq — qp : она говорила, что все они равны и имеют значение$h/i2\pi$. Но каковы были другие элементы$m \ne n$? Здесь началась моя собственная созидательная работа. Повторив вычисление Гейзенберга в матричной записи, я вскоре убедил себя, что единственное разумное значение недиагональных элементов должно быть равно нулю, и записал странное уравнение

Коммутатор возникает в каноническом квантовании , которое представляет собой процедуру квантования классической теории, повсеместно используемую в большинстве текстов по квантовой механике и квантовой теории поля. Выдвигается условие, что

что соответствует эмпирическому правилу (поскольку есть много тонкостей относительно его применимости),

приписывается Дираку. Квантование — это средство перехода от теории, заданной либо действием, либо фазовым пространством с определенной симплектической структурой. Таким образом, ваш вопрос сводится, по сути, к обоснованности квантования таким образом.

Чтобы строго обосновать это, я бы рекомендовал прочитать статью nLab ; у него есть привычка чрезмерно усложнять некоторые вопросы, особенно с жаргоном, но я думаю, что это решит ваши проблемы.

Другой способ увидеть это — попытаться определить$x$и$p$в квантовой теории разумно. Например, оператор импульса имеет интуитивное значение и ожидаемое поведение в состояниях.

Кроме того, например, в квантовой теории поля можно применить теорему Нётер в случае трансляционной симметрии для получения сопряженного импульса, а затем после квантования полей теории по модулю неопределенности потенциального упорядочения можно получить оператор$p$.

В явном виде можно выписать$\phi(x)$и$\pi(x)$скажи и проверь это,

который является аналогом$[x_i,p_j] = i\hbar \delta_{ij}$хотя этот вывод будет зависеть от того факта, что$[a,a^\dagger]= 1$для лестничных операторов, поэтому определения двух коммутаторов в некотором смысле переплетены. Требование обоснования канонических отношений связано с отношением для лестничных операторов.