Физическая интерпретация различий между классической и квантовой динамикой ансамбля

Космас Захос уже дал хороший ответ. Он правильно указывает, что функция синуса в$\star$-коммутатор возникает из экспоненциальной функции в$\star$-продукт.

Вопрос: Но почему тогда экспоненциальная функция?

Ответ: Рассмотрим следующий анзац$^1$для$\star$-продукт:

$$\star~=~f\left( \stackrel{\leftarrow}{\partial} \wedge\stackrel{\rightarrow}{\partial} \right),\tag{1}$$ где $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$является общей (достаточно приятной) функцией. Мы хотим доказать, что $f$должна быть показательной функцией.

В уравнении (1) мы использовали обозначение$\partial_I\equiv \frac{\partial}{\partial z^I}$, где координаты$z^I$– переменные фазового пространства. Если

$$\alpha~=~\sum_I\alpha_I\mathrm{d}z^I\qquad\text{and}\qquad \beta~=~\sum_I\beta_J\mathrm{d}z^J\tag{2}$$ являются одноформенными, то константа (= $z$-независимая) пуассоновская структура $$\alpha \wedge\beta~=~\sum_{IJ}\alpha_I\omega^{IJ}\beta_J ~\in~\mathbb{C}.\tag{3}$$

Упражнение: Докажите, что

$$e^{\alpha\cdot z} \star e^{\beta\cdot z} ~=~f\left(\alpha \wedge\beta\right)e^{(\alpha+\beta)\cdot z}. \tag{4}$$

Далее мы используем, что$\star$-произведение должно быть ассоциативным . В частности, следует считать, что

$$\left(e^{\alpha\cdot z} \star e^{\beta\cdot z}\right)\star e^{\gamma\cdot z}~=~e^{\alpha\cdot z} \star \left(e^{\beta\cdot z}\star e^{\gamma\cdot z}\right). \tag{5}$$ уравнения (4) и (5) подразумевают, что $$f\left(\alpha \wedge\beta\right) f\left((\alpha+\beta) \wedge\gamma\right) ~=~f\left((\alpha\wedge(\beta+\gamma)\right) f\left(\beta\wedge\gamma\right), \tag{6}$$ или эквивалентно $$f(t)f(r+s)~=~f(t+s)f(r), \qquad r,s,t\in\mathbb{C}.\tag{7}$$ Теперь поставьте $t=0$: $$f(0)f(r+s)~=~f(s)f(r), \qquad r,s\in\mathbb{C}.\tag{8}$$ Как известно, решениями функционального уравнения (8) являются показательные функции! (Обратно, можно показать, что каждый $\star$-произведения в экспоненциальной форме ассоциативны.) Если, кроме того, мы наложим принцип соответствия $$\star~=~1 ~+~ \frac{i\hbar}{2}\stackrel{\leftarrow}{\partial} \wedge\stackrel{\rightarrow}{\partial} ~+~ {\cal O}(\hbar^2) \tag{9}$$ между классической и квантовой механикой, то $\star$-произведение (1) однозначно задается формулой Грёневольда-Мойяля $$\star~=~\exp\left(\frac{i\hbar}{2}\stackrel{\leftarrow}{\partial} \wedge\stackrel{\rightarrow}{\partial}\right).\tag{10}$$ $\Box$

--

$^1$В этом ответе мы рассматриваем только постоянные (=$z$-независимые) (возможно, вырожденные) пуассоновские структуры. Подчеркнем, что даже в классе постоянных пуассоновских структур существует множество$\star$-произведения, которые не имеют экспоненциальной формы и не удовлетворяют анзацу (1). Подчеркнем также, что для непостоянных пуассоновских структур экспоненциальная форма$\star$-продукт вообще не применяется. Для этих более общих пуассоновских структур следует использовать квантование Федосова или Концевича, ср. например, этот пост Phys.SE.

Честно говоря, я сбит с толку тем, почему вы подозреваете, что вам нужно пересмотреть интерпретацию КМ в этой картине; но на два ваших ограниченных вопроса можно ответить.

1. Никакой физической причины — простое математическое удобство. См. ссылки 1 и 2. Синус возникает из-за того факта, что соответствующее звездное произведение Грёневольда является экспонентой PB, случайным совпадением, встроенным в карту Вигнера, которая переводит вас от операторов гильбертова пространства к фазовым переменным с числами c. При этом отображении квантовый коммутатор антисимметрично преобразует эти экспоненты в синусоидальную функцию PB. Но другие строго математически эквивалентные звездные произведения, такие как на картинке Хусими (ср. уравнение (124) в [1]), будут соответствовать совсем другим, в общем случае, более беспорядочным скобкам. Все они расширяются за пределы PB до$O(\hbar^2)$термины, включая строго квантовые особенности деформации, которые являются лишь аккуратными степенями синусоидального разложения для произведения Грёневольда-Мойяля... и ужасный беспорядок в (большинстве) других из полдюжины картин, которые я знаю. Именно эти термины определяют отклонение динамики от классических течений, как вы можете заметить на развлекательных фильмах Ref. 2, и придают QM характерный диффузный и сжимаемый вкус.
2. $~\hbar$является размерным параметром и, как таковой, бимодальным. Качественно возможны два случая: нулевой (классический) и ненулевой (КМ). Как правило, он нормализует область ячейки фазового пространства, или ПБ, или... в безразмерные сущности. То есть вы наблюдаете его (QM) эффекты для переменных$xp/\hbar$которые не являются огромно-гигантскими... микроскопическими эффектами, где$\hbar \partial_x \partial_p$не бесконечно малы; когда такие переменные воздействия огромны, как в случае с локомотивом или комаром, эффекты коррекции деформации QM обычно невидимы. Фактический размер _$\hbar$имеет значение только масштаб объектов, попадающих в эту микроскопическую квантовую сферу. Вам может быть предложено визуализировать мир большего$\hbar$, так что больше радиус Бора, так больше атомов и т. д. Фильмы WP будут выглядеть почти так же. Теорема Лиувилля нарушается .

Использованная литература:

1. Томас Л. Куртрайт, Дэвид Б. Фэрли и Космас К. Захос, Краткий трактат о квантовой механике в фазовом пространстве, World Scientific, 2014. Файл PDF доступен здесь .
2. Статья ВП .