Классический спин как SU(2)SU(2)SU(2)

Question

Классический спин как SU(2)SU(2)SU(2)

шериф

В каком смысле конфигурационная переменная классического спина $SU(2)$ ? Я могу рассматривать классический спин как единичный вектор в $\mathbb{S}^2$ (2-мерная сфера), но, кажется, действительно задается матрицей $U$ в $SU(2)$ . Карта Хопфа

ЧАС : С U (2) \to С^{2}

$H:SU(2)\rightarrow \mathbb{S}^2$ данный

ЧАС (U) "=" U о_{3} U^{†}

$H(U)=U\sigma_3U^{\dagger}$ изображение которого может быть отождествлено с элементом в

S^{2}

$\mathbb{S}^2$ дает то, что я вообразил, чтобы быть этим классическим вращением.

Так как с магнитным полем $B$ взаимодействие просто $H(U) \cdot B$ не было бы проблем просто рассмотреть $S \in \mathbb{S}^2$ как переменная конфигурации, но я прочитал следующее:

Классическая частица массы $m$ , с позицией $x$ и вращаться $S$ движущийся в неподвижном внешнем магнитном поле $B$ может быть описано функцией Лагранжа на касательном расслоении конфигурационного пространства $\mathbb{R} \times SU(2)$ дается как

л "=" \frac{1}{2} {\dot{Икс}}^{2} + я λ Т р (о_{3} U^{†} \dot{U}) + мю Т р (ЧАС (U) \dot{Б}) .

$L=\frac{1}{2}\dot{x}^2+i\lambda Tr(\sigma_3U^{\dagger}\dot{U})+\mu Tr(H(U)\dot B).$

Таким образом, второй член явно выражен в терминах $U$ .

РЕДАКТИРОВАТЬ: я получил это из «Калибровочные симметрии и пучки волокон». Балачандран и др.

стр.19 ссылки

Любопытный Разум

«В каком смысле переменная конфигурации классического спина SU (2)?» ... этот вопрос не имеет (грамматического) смысла для меня, я не знаю, о чем вы спрашиваете.

шериф

Как я могу визуализировать «классический спин» как матрицу в

S U (2)

$SU(2)$ (возможность сделать это в

S^{2}

$S^2$ ), точно так же я визуализирую положение частицы в виде вектора

u \in R^{3}

$u \in \mathbb{R}^3$

Слереа

Вы не знаете. SU(2) — группа преобразований (двойное покрытие SO(3) и т. д.). Подобно тому, как на трехмерный вектор действует матрица из SO (3), так и на спинор действует матрица из SU (2). Вот почему спиноры являются двумерными комплексными векторами.

Qмеханик

Комментарий к вопросу (v4): @sheriff, лагранжиан с последним членом взят из ссылки?

Qмеханик

Кросспостировано на math.stackexchange.com/q/1292451/11127

шериф

как мне лучше сделать @Qmechanic, чтобы привлечь больше людей к моему вопросу?

шериф

Кстати, ребята, я имел в виду интерпретацию или ссылку на это:

Ответы (1)

Классический спин как SU(2)SU(2)SU(2)

«В каком смысле переменная конфигурации классического спина SU (2)?» ... этот вопрос не имеет (грамматического) смысла для меня, я не знаю, о чем вы спрашиваете.
Как я могу визуализировать «классический спин» как матрицу в $SU(2)$ (возможность сделать это в $S^2$ ), точно так же я визуализирую положение частицы в виде вектора $u \in \mathbb{R}^3$
Вы не знаете. SU(2) — группа преобразований (двойное покрытие SO(3) и т. д.). Подобно тому, как на трехмерный вектор действует матрица из SO (3), так и на спинор действует матрица из SU (2). Вот почему спиноры являются двумерными комплексными векторами.
Комментарий к вопросу (v4): @sheriff, лагранжиан с последним членом взят из ссылки?
Кросспостировано на math.stackexchange.com/q/1292451/11127
как мне лучше сделать @Qmechanic, чтобы привлечь больше людей к моему вопросу?
Кстати, ребята, я имел в виду интерпретацию или ссылку на это:

Селена Рутли · Answer 1

Я не совсем уверен, о чем вы спрашиваете, но я подозреваю, что следующее может помочь. Для представления вращений, спинов и векторов в $SU(2)$ работаем следующим образом.

Вращения живут в $SU(2)$ .

Векторы (в физическом смысле) живут в алгебре $\mathfrak{su}(2)$ . Вектор положения $(x,\,y,z)$ является:

Икс "=" Икс {\hat{с}}_{Икс} + у {\hat{с}}_{у} + г {\hat{с}}_{г} "=" (\begin{array}{cc} я г & я Икс - у \\ я Икс + у & - я г \end{array})

$X =x\,\hat{s}_x+y\,\hat{s}_y+z\,\hat{s}_z = \left(\begin{array}{cc}i z&i\,x-y\\i\,x+y&-i z\end{array}\right)$

которая представляет собой суперпозицию матриц Паули с коэффициентом $i$ добавлено, чтобы поместить наш вектор в косоэрмитову $\mathfrak{su}(2)$ .

Вращение $\gamma\in SU(2)$ действует на вектор $X\in\mathfrak{su}(2)$ через спинорную карту :

Икс \mapsto γ Икс γ^{- 1} "=" γ Икс γ^{†}

$X\mapsto \gamma\,X\,\gamma^{-1}=\gamma\,X\,\gamma^\dagger$

Перекрестное произведение между двумя векторами $X,\,Y\in\mathfrak{su}(2)$ это скобка Ли $[X,\,Y]$ . Внутренний продукт можно рассматривать как антикоммутатор $\{X,\,Y\}=X\,Y+Y\,X$ и всегда является масштабным коэффициентом, умноженным на единичную матрицу (таким образом, это «скаляр»), или только масштабный коэффициент также может быть найден как $\mathrm{tr}(X\,Y)$ (что, для $\mathfrak{su}(2)\cong\mathrm{ad}(\mathfrak{su}(2))=\mathfrak{so}(3)$ , то же самое, что и отрицание формы Убийства, поскольку $X^T = -X$ ).

Угловая скорость определяет производную вращения по времени, поэтому она также является членом алгебры Ли. $\mathfrak{su}(2)$ и переводится слева как производная по времени от оператора вращения:

д_{т} γ (т) "=" γ Ом

$\mathrm{d}_\tau\,\gamma(\tau) = \gamma\,\Omega$

где $\Omega = \gamma^{-1}\,\mathrm{d}_\tau\,\gamma(\tau)\in\mathfrak{su}(2)$ угловая скорость. Мгновенная скорость постоянного вектора положения $X$ под действием $X\mapsto \gamma(\tau)\,X\,\gamma^{-1}(\tau)$ затем $[\Omega,\,X]$ . Энергия взаимодействия между $\Omega$ и магнитная индукция $B\in\mathfrak{su}(2)$ является, согласно вышеизложенному, внутренним продуктом $\mathrm{tr}(\Omega\,B)$ (по модулю гиромагнитного отношения)

Это помогает?

Классический спин как SU(2)SU(2)SU(2)

шериф

Любопытный Разум

шериф

Слереа

Qмеханик

Qмеханик

шериф

шериф

Ответы (1)

Селена Рутли

Классические игрушечные модели частиц с собственным спином

Уравнение Эйлера-Пуанкаре

В каких теориях поля с фермионами не возникают струнные и пятибранные структуры?

Матрица вращения со спином 1/2 считается направленной против часовой стрелки?

Симметрии пространства-времени и объектов над ним

Физическая интуиция спинорной связи и спинорных пучков?

Помогите с символами Кристоффеля для задачи геометрической механики?

Вычисление символов Кристоффеля из лагранжиана

Действие Эйнштейна-Гильберта не дает тех же результатов, что и уравнения поля Эйнштейна для данной метрики.

Спонтанное нарушение симметрии SU(2)SU(2)SU(2) в вещественных и комплексных скалярных полях