Классические игрушечные модели частиц с собственным спином

Что касается моего вопроса здесь ( кручение пространства-времени, тензор спина и внутреннее вращение в теории Эйнштейна Картана ), я хотел бы иметь возможность поместить тестовые частицы на многообразие с ненулевым кручением и посмотреть, как это влияет на движение.

Действие для свободной частицы обычно задается как:

$$S_{free} = -m\int d\tau = - m\int \sqrt{\frac{\partial x^\mu(\lambda)}{\partial \lambda}\frac{\partial x^\nu(\lambda)}{\partial \lambda}g_{\mu\nu}(\lambda)}\ \ d\lambda$$ где $\tau$- длина мировой линии, а $\lambda$- некоторый параметр для описания пути частицы $x^\mu(\lambda)$. Я предполагаю, что это скалярная частица, так как вращения не повлияют на ее описание.

1. Есть ли термин, который я опускаю, если мы рассматриваем ненулевое кручение?
2. Какова соответствующая модель для свободной спинорной частицы? (Я видел, как обсуждались классические спинорные поля , но никогда не обсуждались частицы)
3. А как насчет более высокого вращения?
4. А как насчет произвольного вращения? (или даже в классических моделях мы ограничены представлениями многообразного касательного пространства?)