Квантование углового момента в SO(3)SO(3)SO(3)

Когда эрмитовы операторы л 1 , л 2 , л 3 следуем коммутационным соотношениям:

[ л 1 , л 2 ] "=" я л 3 [ л 2 , л 3 ] "=" я л 1 [ л 3 , л 1 ] "=" я л 2

можно показать, что, если предположить, что их конечное число, их собственные значения являются целыми или полуцелыми. Оказывается, базис алгебры Ли С U ( 2 ) следует этим соотношениям, и после отождествления углового момента с этими операторами оно представляет собой доказательство квантования углового момента.

Теперь мои математические познания не идут намного дальше, но основы алгебры Ли С О ( 3 ) следует тем же коммутационным соотношениям, за исключением я коэффициент. В этом случае я не могу найти способ получить квантованные собственные значения. Почему я читаю здесь и там, что С О ( 3 ) и С U ( 2 ) имеют изоморфные алгебры Ли и что они в основном приводят к одному и тому же квантованию? Если да, то как мне получить это квантование, используя только С О ( 3 ) операторы? И если результат тот же, зачем нам использовать С U ( 2 ) когда мы сможем использовать настоящие операторы вращения 3x3?

SU(2) не изоморфна SO(3), это двойное покрытие; однако их алгебры Ли.
Алгебры Ли с о ( 3 ) ≅ с ты ( 2 ) изоморфны; группы Ли С О ( 3 ) и С U ( 2 ) не изоморфны.
Я исправил вопрос в соответствии с вашими комментариями.
Возможные дубликаты: физика.stackexchange.com /q/96045/2451 , физика.stackexchange.com /q/96569/2451 , физика.stackexchange.com /q/96542/2451 , физика.stackexchange.com /q/47740/2451 , physics.stackexchange.com/q/78536/2451 , physics.stackexchange.com/q/129340/2451 и ссылки в них.
«i» не имеет значения и является чисто условным, чтобы гарантировать эрмитовость образующих.
Представление алгебры так же важно, как и сама алгебра. Как только вы выберете алгебру и конкретное представление, вы зафиксируете связанную с ней группу Ли. Например, если вы выберете дублет алгебры с ты ( 2 ) ты заканчиваешь с группой С U ( 2 ) тогда как, выбирая тройку, вы получаете С О ( 3 ) . Первая группа симметрии может давать преобразования спина, а вторая может давать преобразования орбитального углового момента.
Я читал в нескольких комментариях и ссылках, что фактор «i» не имеет значения. Это именно мой вопрос. Как можно получить квантование без этого фактора? Доказательство «лестницы», по-видимому, не выполняется. На самом деле, я все еще могу провести доказательство лестницы, но собственные значения становятся мнимыми.

Ответы (1)

su(2) и so(3) Алгебра Ли гомоморфна, поэтому, если вы переопределите L с помощью множителя "- я ", то вы получаете so (3). Но группа SU (2) является группой покрытия для SO (3). Ее матрицы представления нечетной размерности соответствуют всем матрицам представления SO (3), что означает, что SO (3) не имеет четных Представления размерности. Таким образом, для частиц с целым угловым моментом, конечно, вы можете использовать SO (3), но для полуцелых спинов, таких как фермионы со спином 1/2, вы должны использовать представление SU (2). В целом, используя SU (2) действителен для всех случаев, а SO (3) нет Так что это может дать вам некоторое представление?

Квантование углового момента в SO(3)SO(3)SO(3)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v