Где живут L+L+L_+ и L−L−L_-, как не в so(3)so(3)\mathfrak{so(3)}?

Question

Где живут L+L+L_+ и L−L−L_-, как не в so(3)so(3)\mathfrak{so(3)}?

Физика
алгебра лжи
теория групп
угловой момент
групповые представления

пользователь35952

Этот вопрос является продолжением предыдущего поста . Алгебра лжи $\mathfrak{so(3)}$ является вещественной алгеброй Ли и, следовательно, $L_{\pm} = L_1 \pm i L_2$ не принадлежат $\mathfrak{so(3)}$ .

Однако при построении представления для $\mathfrak{so(3)}$ , используются эти операторы и считаются эндоморфизмами (операторами), определенными на некотором векторном пространстве $V$ . Позволять $\left|lm \right> \in V$ ,затем

л_{3} | л м ⟩ "=" м | л м ⟩ л_{\pm} | л м ⟩ "=" С_{\pm} | л (м \pm 1) ⟩

$L_3\left|lm \right> = m \left|lm \right> \;\;\;\;\; L_{\pm}\left|lm \right> = C_{\pm}\left|l(m\pm1) \right>$

Теперь, как мы можем оправдать эти две вещи? Если $L_{\pm} \notin \mathfrak{so(3)}$ , то как же возможна такая конструкция представления?

Я думаю, что то же самое и с $\mathfrak{su(n)}$ алгебры, где группа полупроста, а алгебра определена над вещественной LVS.

Николай-К

Я мог бы что-то неправильно понять, поэтому позвольте мне поднять вопрос: не судя, лежат ли операторы в алгебре или нет, почему все равно возникает ваш вопрос? На мой слух это звучит примерно так: «Я хочу изучать свойства последовательных производных, и люди используют для этого абстрактную алгебру. Чем это оправдано?» Почему нет? Если вы изучите, как

a \mapsto e^{i ϕ} a

$a\mapsto\mathrm{e}^{i\phi}a$ воздействует на элементы

C

$\mathbb C$ , есть ли причина, по которой вы бы ограничили свое исследование, потребовав не использовать сложное сопряжение на

C

$\mathbb C$ ?

Вальтер Моретти

Извините, я не понимаю, почему

L_{\pm} | l m ⟩ = C_{\pm} | l (m \pm 1) ⟩

$L_\pm |l \:m \rangle = C_\pm |l\: (m\pm 1)\rangle$ должен требовать, чтобы

L_{\pm}

$L_\pm$ принадлежит представлению (вещественной) алгебры Ли

s o (3)

$so(3)$ или

s u (2)

$su(2)$ .

пользователь35952

@ В. Моретти: Я тоже! Но я не могу себя убедить, что если они не принадлежат этому, то как я могу использовать их в построении представления??

пользователь35952

@ NiftyKitty95: Спасибо за это замечание, хотя ваша аналогия еще не дошла до меня. С этим еще раз подумаю.

пользователь35952

Хорошо, значит ли это, что когда я строю представление этой алгебры, используя ее операцию в линейном векторном пространстве (LVS), только несколько законных операторов в этом LVS принадлежат алгебре, а не все операторы, определенные в LVS?

Николай-К

@ user35952: Мои точки, например, если вы изучаете умножение числа

7

$7$ по количеству

5

$5$ в

N

$\mathbb N$ , нет причин писать это как

7 \mapsto (1 - 2 i) 7 \bar{(1 - 2 i)}

$7\mapsto(1-2i)\,7\,\overline{(1-2i)}$ , если вы считаете, что это полезно.

Вальтер Моретти

Конечно! Обычно представление строится над комплексным векторным пространством

H

$H$ , поэтому алгебра операторов над этим пространством

L (H)

$L(H)$ имеет естественную сложную структуру. Тем не менее представление (вещественной) алгебры Ли определено только в вещественном подпространстве

L (H)

$L(H)$ .

пользователь35952

@NiftyKitty95: Да, теперь я понимаю, что вы имеете в виду, и я думаю, что Моретти ясно дал понять !!

пользователь35952

@V.Moretti: Кроме того, это инвариантное подпространство

V

$V$ пространство, над которым определены операторы Казимира алгебры Ли?

Вальтер Моретти

Если

V

$V$ неприводимо вдобавок к инвариантности, оно действительно является собственным пространством операторов Казимира.

Ответы (1)

Где живут L+L+L_+ и L−L−L_-, как не в so(3)so(3)\mathfrak{so(3)}?

Я мог бы что-то неправильно понять, поэтому позвольте мне поднять вопрос: не судя, лежат ли операторы в алгебре или нет, почему все равно возникает ваш вопрос? На мой слух это звучит примерно так: «Я хочу изучать свойства последовательных производных, и люди используют для этого абстрактную алгебру. Чем это оправдано?» Почему нет? Если вы изучите, как $a\mapsto\mathrm{e}^{i\phi}a$ воздействует на элементы $\mathbb C$ , есть ли причина, по которой вы бы ограничили свое исследование, потребовав не использовать сложное сопряжение на $\mathbb C$ ?
Извините, я не понимаю, почему $L_\pm |l \:m \rangle = C_\pm |l\: (m\pm 1)\rangle$ должен требовать, чтобы $L_\pm$ принадлежит представлению (вещественной) алгебры Ли $so(3)$ или $su(2)$ .
@ В. Моретти: Я тоже! Но я не могу себя убедить, что если они не принадлежат этому, то как я могу использовать их в построении представления??
@ NiftyKitty95: Спасибо за это замечание, хотя ваша аналогия еще не дошла до меня. С этим еще раз подумаю.
Хорошо, значит ли это, что когда я строю представление этой алгебры, используя ее операцию в линейном векторном пространстве (LVS), только несколько законных операторов в этом LVS принадлежат алгебре, а не все операторы, определенные в LVS?
@ user35952: Мои точки, например, если вы изучаете умножение числа $7$ по количеству $5$ в $\mathbb N$ , нет причин писать это как $7\mapsto(1-2i)\,7\,\overline{(1-2i)}$ , если вы считаете, что это полезно.
Конечно! Обычно представление строится над комплексным векторным пространством $H$ , поэтому алгебра операторов над этим пространством $L(H)$ имеет естественную сложную структуру. Тем не менее представление (вещественной) алгебры Ли определено только в вещественном подпространстве $L(H)$ .
@NiftyKitty95: Да, теперь я понимаю, что вы имеете в виду, и я думаю, что Моретти ясно дал понять !!
@V.Moretti: Кроме того, это инвариантное подпространство $V$ пространство, над которым определены операторы Казимира алгебры Ли?
Если $V$ неприводимо вдобавок к инвариантности, оно действительно является собственным пространством операторов Казимира.

ZeroTheHero · Answer 1

Они не лежат в $\mathfrak{so}(3)$ но они заключаются в его усложнении, которое было бы $A_1$ в обычной математической классификации. Большая часть теории репрезентации Ли построена таким образом: вы работаете на уровне усложнения, а затем возвращаетесь к реальной форме. Для компактных групп это не имеет большого значения; для некомпактных групп требуется дополнительная осторожность.

Так что пока $L_{\pm}$ не имеют смысла как элементы $\mathfrak{so}(3)$ , они имеют смысл в комплексификации. Вы можете вернуться к $\mathfrak{so}(3)$ используя $L_1=\frac{1}{2}(L_++L_-)$ и $L_2=\frac{1}{2i}(L_+-L_-)$ . (Будьте осторожны: основа, где $L_0$ диагональ представляет собой сложную комбинацию действительных базисных векторов.)

Где живут L+L+L_+ и L−L−L_-, как не в so(3)so(3)\mathfrak{so(3)}?

пользователь35952

Николай-К

Вальтер Моретти

пользователь35952

пользователь35952

пользователь35952

Николай-К

Вальтер Моретти

пользователь35952

пользователь35952

Вальтер Моретти

Ответы (1)

ZeroTheHero

Коэффициенты связи в SO(4)

Квантование углового момента в SO(3)SO(3)SO(3)

Правила ветвления для SU(3)SU(3)SU(3)

Квантово-механический угловой момент и формализм/обозначения спина

Можно ли разложить алгебру Ли sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) в прямую сумму двух sl(2,R)sl(2,R)sl(2,\mathbb {Р})?

Диагонализация матриц в SU(2) и SO(3)

Каково четырехмерное представление генераторов SU(2)SU(2)SU(2)?

Заряд поля под действием группы

Скобка Ли для алгебры Ли SO(n,m)SO(n,m)SO(n,m)

Квантование орбитального углового момента