Действие Дирака , а уравнение Дирака . Тогда решения уравнений движения оказывают ровно нулевое действие. В качестве другого примера, гармонический осциллятор имеет действие, пропорциональное интегралу , и это также равно нулю для любого решения, которое совершает целое число колебаний.
Конечно, нулевое значение не так важно, потому что вы всегда можете добавить к действию константу. Но вы не можете добавить константу к любому действию и сделать так, чтобы решения не имели никакого действия — это похоже на особое свойство. Существует ли критерий того, когда системы обладают этим свойством? Есть ли в этом какое-то более глубокое значение?
Я не думаю, что есть какое-то глубокое значение. Для любой теории свободного поля (включая уравнение Дирака) плотность лагранжиана квадратична по полям (с точностью до константы, которую нет причин не приравнивать к нулю) и может быть записана как для некоторого линейного дифференциального оператора , поэтому уравнение движения примет схематический вид , и лагранжева плотность будет равна нулю на оболочке. Как только вы добавите взаимодействия, это больше не будет работать, потому что относительные веса различных членов изменятся при дифференцировании, и плотность Лагранжа больше не будет пропорциональна выражению Эйлера-Лагранжа.
Что касается простого гармонического осциллятора, то нет особенно веских физических причин рассматривать движение только в течение целого (на самом деле полуцелого) числа колебаний. SHO имеет множество синусоидальных динамических величин, так что совершенно ясно, что действие должно быть таким же, и неудивительно, что оно проходит через 0 каждые полуцелое число колебаний. (Кстати, кинетический член лагранжиана для SHO не , его . Эти две величины физически равны, но концептуально очень разные. Лагранжианы имеют обобщенные скорости, а гамильтонианы имеют обобщенные импульсы.)
Qмеханик