Когда мы увеличиваем размер и массу мира, в какой момент ракета становится не в состоянии выйти на орбиту или выйти на космическую скорость?

Введение

Если вас серьезно интересует этот вопрос и вы готовы уделить некоторое время чтению о нем, рекомендую прочитать страницу Atomic Rockets: Engine List .

Также будут обсуждаться проблемы, с которыми вы столкнетесь как ракетчик. Неполный список таков:

• Для планетарных запусков ваш двигатель должен обеспечивать большее ускорение, чем местная гравитация (например, для Земли оно должно превышать 1g). Это означает, что вам нужен двигатель с высокой тягой.
• Чтобы уменьшить расход топлива, ваш двигатель должен обеспечивать высокий удельный импульс ($I_{sp}$).
• Для большинства двигателей эти две вещи взаимоисключающие.

Тирания ракетного уравнения

Уравнение ракеты показывает, что общая двигательная способность ракеты определяется удивительно небольшим количеством факторов.

$$\Delta v = v_e \cdot \ln{\frac{m_0}{m_f}}$$

• $\Delta v$- тяговая способность ракеты
• $v_e$- скорость истечения топлива
• $m_0$- стартовая масса ракеты
• $m_f$- конечная масса ракеты (стартовая масса минус израсходованное топливо)

Звездная черная дыра

Очевидно, что теоретическим пределом чего бы то ни было является формирование горизонта событий (также известного как Черная дыра). Это потому, что$\Delta v$Требование превышает скорость света, и никакое топливо не может превысить ее.

Вы можете достичь этого формирования с помощью многих механизмов. Возьмите небольшую массу и сожмите ее или продолжайте добавлять массу к одному объекту.

Звездная черная дыра образуется, когда при нормальных условиях сближаются несколько солнечных масс материи (мы еще не знаем, сколько массы для этого требуется). Никакая причудливая ракетная техника не вытащит вас из черной дыры

3-х ступенчатая химическая ракета - работает до$M_{Saturn}$

В отличие от многих типов ракетных двигателей, химические ракеты «сжигают» свое топливо и выбрасывают продукты реакции в качестве топлива. Это ограничивает ваш ракетный двигатель экзотермическими (высвобождающими энергию) реакциями.

Чтобы сохранить$I_{sp}$как можно выше, вы должны использовать химикаты с минимально возможной массой.$I_{sp}$управляется скоростью выхлопа, а не импульсом (увеличение скорости топлива снижает расход топлива). Таким образом, двигатель с такой же тягой будет потреблять меньше топлива, если вы выбрасываете малую массу с высокой скоростью, а не большую массу с низкой скоростью.

LOX + LH2

Обычно используемое высокоэффективное химическое ракетное топливо представляет собой жидкий кислород (также известный как LOX) + жидкий водород (LH2). Это обеспечивает$I_{sp}$около 450 (скорость истечения$4,400 \frac{m}{s})$.

ЛФ2 + ЛХ2

Топливом с еще более высокими характеристиками будет жидкий водород + жидкий фтор. Эта комбинация может обеспечить$I_{sp}$около 480 (скорость истечения$4,700 \frac{m}{s}$). Тем не менее, это создает множество огромных проблем:

• Работать с жидким фтором перед запуском непросто.
• Гораздо сложнее удержать горячую газообразную плавиковую кислоту от разрушения вашего стартового комплекса и отравления людей на земле.

Расчеты

Ради аргумента, если мы ограничим уравнение до$\frac{m_0}{m_f} = 10$( шаттл имеет долю$\approx 5$- значит это 80% топлива и 20% всего остального)

Подстановка предоставленных чисел в уравнение даст следующее:

$$\Delta v = 4,700 \frac{m}{s} \cdot \ln{10} = 10,822 \frac{m}{s}$$

Вычтите разумное значение атмосферного + гравитационного сопротивления ($\approx 20$%$= 2164 \frac{m}{s}$). Это оставляет$8,658 \frac{m}{s}$доступных для выхода на орбиту.

Орбитальная скорость рассчитывается с использованием этого приближения :

$$v_o = \sqrt{\frac{G \cdot M_{planet}}{r}}$$

• $G = 6.7 \cdot 10^{-11} \frac{N \cdot m^2}{kg^2}$
• $v_o = 8,658 \frac{m}{s}$
• Предположим плотность Земли, поэтому$M_{planet} = \rho \cdot 4 / 3 \cdot \pi \cdot r^3$
• Для Земли,$\rho = 5,500 \frac{kg}{m^3}$

Теперь найдите r (и$M_{planet}$):

$$8,658 = \sqrt{\frac{6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 23,039 \cdot r^3}{r}} \rightarrow 7.5 \cdot 10^7 = 6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 23,039 \cdot r^2$$

$$r^2 = \frac{7.5 \cdot 10^7}{6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 23,039} \rightarrow r = \sqrt{\frac{7.5 \cdot 10^7}{1.5 \cdot 10^{-6}}}$$

• $r = 6,971 km$
• $M_{planet} = 7.8 \cdot 10^{24} kg$

Планеты разной плотности дают разные результаты.

По сути, Земля — это предел для одноступенчатых химических ракет.

Постановка

Но подождите секунду! Понятно, что мы запускаем в космос аппараты не одноступенчатые, ну и что дает?!

До сих пор мы обсуждали это только в качестве одной ступени для вывода на орбиту. Получается, что при постановке корабля мы на самом деле получаем лучшие характеристики и можем легче выйти на орбиту.

Сколько мы на самом деле получаем, зависит от количества и типа этапов. Но давайте предположим, что мы используем трехступенчатую ракету, каждая из которых имеет характеристики, указанные выше. Уравнение стадии определяется следующим образом :

$$\Delta v = N_{stages} \cdot v_e \cdot \ln{10} \rightarrow \Delta v = 3 \cdot 4,700 \frac{m}{s} \cdot 2.3 = 32,466 \frac{m}{s}$$

Все остальные числа остаются прежними, поэтому найдите r (и$M_{planet}$) снова:

$$32,466 = \sqrt{\frac{6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 23,039 \cdot r^3}{r}} \rightarrow 1.05 \cdot 10^9 = 6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 23,039 \cdot r^2$$

$$r^2 = \frac{1.05 \cdot 10^9}{6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 23,039} \rightarrow r = \sqrt{\frac{1.05 \cdot 10^9}{1.5 \cdot 10^{-6}}}$$

• $r = 26,971 km$
• $M_{planet} = 4.1 \cdot 10^{26} kg$

Это почти масса Сатурна ($5.7 \cdot 10^{26} kg$) .

Планеты разной плотности дают разные результаты.

3-ступенчатая ядерно-импульсная двигательная установка - работает для всех масс планет (до$170 \cdot M_{Jupiter}$, что на самом деле является звездой)

Уравнение ракеты не различает тип двигателя. Таким образом, вы можете использовать точно такие же уравнения.

Согласно Atomic Rockets: Engine List , вы можете ожидать, что оптимальная производительность импульсного ядерного двигателя будет$100,000 \frac{m}{s}$дизайн на этой странице.

Если вы используете эту конфигурацию, одноступенчатая ракета с ядерным импульсным двигателем сможет стартовать с планеты, масса которой в 6 раз больше массы Юпитера (масса Юпитера$= 1.9 \cdot 10^{27}$, масса этой планеты будет$1.2 \cdot 10^{28}$).

Трехступенчатая версия этого корабля могла бы генерировать примерно в 3 раза больше энергии.$\Delta v$. Это соответствовало бы планете с массой$3.24 \cdot 10^{29} kg$- примерно в 170 раз больше массы Юпитера. Однако, поскольку тело с массой выше 84 масс Юпитера является звездой , мы можем с уверенностью сказать, что технологическая цивилизация могла бы разработать ядерно-импульсную ракетную установку для запуска в космос с любой планеты.

Все планеты, используемые в этом ответе, предполагают планету плотности Земли.