Можем ли мы получить полную непертурбативную информацию о взаимодействующей системе, вычислив возмущение всех порядков?

Как мы знаем, пертурбативное разложение взаимодействующих КТП или КМ представляет собой не сходящийся ряд, а асимптотический ряд , который в общем случае расходится. Таким образом, мы не можем получить произвольную точность теории взаимодействия, вычисляя достаточно высокий порядок и добавляя их напрямую.

Однако мы также знаем, что мы можем использовать некоторые приемы повторного суммирования , такие как суммирование Бореля , приближение Паде и т. Д., Для суммирования расходящегося ряда для восстановления исходной непертурбативной информации. Этот прием широко используется при вычислении критического показателя ф 4 и т. д.

Мои вопросы:

  1. Хотя почти невозможно вычислить возмущение всех порядков, правда ли, что мы можем получить произвольную точность взаимодействующих систем (таких как КХД), просто вычисляя достаточно высокие порядки и используя приемы повторного суммирования, такие как борелевское суммирование?

  2. Верно ли, что, в принципе, непертурбативная информация, такая как инстантон и вихрь, также может быть получена вышеуказанными методами?

Есть наглядный пример: 0 - тусклый ф 4 теория,

Z ( г ) ≡ ∫ − ∞ ∞ г Икс 2 π е − Икс 2 / 2 − г Икс 4 / 4
Из определения Z ( г ) выше, Z ( г ) должно быть конечным числом для г > 0 .

Как обычно, мы можем вычислить это пертурбативно,

(1) Z ( г ) "=" ∫ − ∞ ∞ г Икс 2 π е − Икс 2 / 2 ∑ н "=" 0 ∞ 1 н ! ( − г Икс 4 / 4 ) н ∼ ∑ н "=" 0 ∞ ∫ − ∞ ∞ г Икс 2 π е − Икс 2 / 2 1 н ! ( − г Икс 4 / 4 ) н

Примечание: В принципе, мы не можем поменять местами интегральное и бесконечное суммирование. Вот почему асимптотический ряд расходится.

(2) Z ( г ) ∼ ∑ н "=" 0 ∞ ( − г ) н ( 4 н ) ! н ! 16 н ( 2 н ) !
Это расходящийся асимптотический ряд.

Другим способом, Z ( г ) может быть решена непосредственно аналитически,

(3) Z ( г ) "=" е 1 8 г К 1 / 4 ( 1 8 г ) 2 π г
где К н ( Икс ) — модифицированная функция Бесселя второго рода . Мы видим очевидно, что Z ( г ) конечен для г > 0 и г "=" 0 является существенной особенностью.

Однако мы можем восстановить точное решение ( 3 ) борелевским пересуммированием расходящихся асимптотических рядов ( 2 )

Сначала вычислите преобразование Бореля,

Б ( г ) "=" ∑ н "=" 0 ∞ ( − г ) н ( 4 н ) ! ( н ! ) 2 16 н ( 2 н ) ! "=" 2 К ( − 1 + 1 + 4 г 2 1 + 4 г ) π ( 1 + 4 г ) 1 / 4
где К ( Икс ) — полный эллиптический интеграл первого рода .

Затем вычислить борелевскую сумму

(4) Z Б ( г ) "=" ∫ 0 ∞ е − т Б ( г т ) г т "=" е 1 8 г К 1 / 4 ( 1 8 г ) 2 π г

Z Б ( г ) "=" Z ( г )

Мы видим конкретно, что мы можем восстановить точное решение из расходящихся асимптотических рядов, используя прием борелевского пересуммирования.

Ответ - нет. По крайней мере, если вы имеете в виду стандартную теорию возмущений. Просто выполните расширение Тейлора опыт ⁡ ( − 1 / г 2 ) вокруг г "=" 0 чтобы понять почему.
@marmot Это не расширение Тейлора, а асимптотическое расширение. Вы можете получить этот результат путем повторного суммирования
@marmot Вы можете увидеть пример моей обновленной версии.
Обратите также внимание, что борелевское пересуммирование содержит неоднозначности всякий раз, когда преобразование Бореля содержит особенности вдоль положительной вещественной оси (что, как можно утверждать, обычно имеет место).
@maplemaple Пожалуйста, перестаньте вносить тривиальные правки, чтобы вывести вопрос на первую страницу. Спасибо.
Аналогия из другой области: «постньютоновская теория» аппроксимирует общую теорию относительности посредством разложений до различных порядков. Однако Христодулу доказал, что она не сходится (как цитирует Петра Хрущеля)! Тем не менее, похоже, что на практике это работает, и одного эксперта — Эрика Пуассона — это не беспокоит. Источник: Летняя школа «Домошкола: уравнения Эйнштейна — физико-математические аспекты», 2018 г.
Не могли бы вы объяснить, как вычислить сумму Бореля? Или дать какие-то ссылки?
@Nikita Вы можете посмотреть вики: en.wikipedia.org/wiki/Borel_summation#Definition Первые вычисления Б А ( т ) , затем вычислить интеграл
@maplemaple спасибо. Я понимаю, что такое суммирование Бореля. Я не понимаю, как получить полный эллиптический интеграл первого рода и вычислить обратное преобразование Лапласа эллиптического интеграла.
@Nikita Это можно вычислить аналитически с помощью Mathematica

Ответы (2)

Теория возмущений дает для решения асимптотический ряд по константе связи г . Существует бесконечно много функций, имеющих один и тот же асимптотический ряд, так как, например, добавление функции е − с / г 2 обращение в ноль не изменит асимптотического ряда.

Таким образом, в общем случае ряд возмущений не дает полной пертурбативной информации. Каждая процедура суммирования требует дополнительных предположений о решении; он будет корректно резюмировать ряд, когда эти предположения выполняются, но, как правило, не иначе.

Во многих игрушечных случаях можно доказать, что предположения теоремы суммирования Бореля Уотсона выполняются; тогда работает борелевское суммирование. Но известно, что он не работает в других случаях, например, при (частом) присутствии ренормалонов.

В четырехмерной релятивистской квантовой теории поля неизвестно ни о каком методе пересуммирования, будет ли он работать. Самая мощная техника повторного суммирования, основанная на возрождающихся транссериях, имеет наибольшую перспективу.

  1. Насколько я понимаю, подведение суммы к наименьшему члену асимптотического ряда дает экспоненциально хорошую точность, но не более того. Экспоненциально малый член ошибки в некоторых случаях может быть отнесен к топологическим секторам.

  2. Когда мы выполняем борелевское пересуммирование, возникает явление, называемое «возрождением», когда эти экспоненциальные члены входят в ряды, которые выглядят точно так же, как ряды «вакуумных» возмущений, но с предфактором, подобным е − С 0 / г 2 где С 0 интерпретируется как действие инстантона. Список примеров тому растет с каждым днем. См., например, этот документ (и те, кто на него ссылается): https://arxiv.org/abs/1210.2423 . Предположительно, после того, как вы возобновите серию, она сходится к точному ответу, по крайней мере, в случаях повторения. Хотя я не знаю никаких теорем.

Можем ли мы получить полную непертурбативную информацию о взаимодействующей системе, вычислив возмущение всех порядков?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v