Что означает непертурбативная теория?

Под непертурбативной теорией понимается теория, в которой все результаты в принципе могут быть вычислены с произвольной точностью на компьютере. На самом деле это то же самое, что и четко определенная теория, теория, которая математически приемлема и имеет смысл, которая в некотором роде не является неполной при какой-то высокой энергии или когда вы проводите измерения с некоторой высокой точностью.

Примером четко определенной непертурбативной теории является КХД, где вы можете поместить теорию на пространственно-временную сетку, смоделировать ее на компьютере и взять предел малого размера сетки, чтобы извлечь все предсказания теории (в принципе --- это сложная вычислительная задача). Предел не прост, вы должны сделать решетку меньше и настроить связи так, чтобы физические массы оставались фиксированными, но процедура известна (по физическим стандартам строгости), чтобы сходиться в пределе малых сеток к чему-то разумному. .

Теория возмущений означает теорию, в которой вы начинаете с приближения того, что частицы не взаимодействуют, и добавляете взаимодействия частиц, позволяя им немного рассеиваться, затем внося поправку на рассеяние рассеянных частиц, затем поправку на рассеяние дважды -рассеянные частицы и так далее. Это наиболее удобный метод расчета, поэтому так формулируется большинство теорий. Но есть проблема в том, что рассеяние рассеянных частиц, которые сами являются продуктами рассеяния и т. д., требует бесконечного суммирования, а суммирование расходящееся, оно дает только результаты, которые улучшаются на некоторое время по мере того, как вы включаете больше рассеяний. , то при достаточно высоком порядке (достаточно процессов перерассеяния) результаты, которые вы вычисляете, начинают отклоняться от правильного ответа и расходятся.

Поначалу это выглядит как чисто математическое раздражение, которое можно исправить с помощью лучшего метода суммирования бесконечных рядов. Но это не чисто математическое, оно имеет физическую интерпретацию. Рассмотрим теорию с одним типом скалярных частиц, которые могут рассеиваться сами на себя. Эту теорию можно сформулировать пертурбативно с ненулевой скоростью рассеяния, но если вы поместите ее на сетку, то при уменьшении размера сетки до нуля скалярные частицы, созданные из вакуума на малых расстояниях, заслоняют друг друга от ощущения взаимодействия, и это снижает скорость рассеяния на большие расстояния до нуля. Это также известно только с точки зрения физики. Таким образом, теория возмущений с ненулевой скоростью рассеяния на самом деле не имеет смысла, она не работает, если размер сетки достаточно мал.

Существует способ качественного понимания полюса Ландау в скалярной теории поля, который математически точен в предсказании того, как исчезает взаимодействие. Если вы сделаете сетку и проведете по ней случайное блуждание (отметите точку, переместитесь наугад к одному из соседей и отметите эту точку и продолжите отмечать случайный путь), то два таких блуждания пересекутся с вероятностью это всегда стремится к нулю, когда вы делаете сетку более тонкой в ​​4-мерных сетках. Менее чем в 4-х измерениях частицы могут найти друг друга. Вероятность того, что частицы найдут друг друга, стремится к нулю, поскольку шаг решетки в степени 4d, поэтому она стремится к 0 для 5, 6, 7 измерений, она достигает некоторого конечного значения в 1, 2, 3 измерениях и в 4-х измерениях вам нужен лучший анализ, и там он стремится к нулю как логарифм шага решетки. Это означает, что если вы считаете, что частицы находят друг друга для взаимодействия в 4 измерениях, случайные блуждающие частицы смогут найти друг друга только в той степени, в которой размер сетки не равен нулю. Если вы видите точечные частицы, взаимодействующие путем самопересечения (например, бозон Хиггса в стандартной модели), вы можете предсказать, что решетка должна быть больше определенной величины только на основании наблюдаемого взаимодействия. Этот размер экспоненциально мал в связи, а для стандартной модели взаимодействия Хиггса (с известными теперь массой и связью бозона Хиггса) он намного меньше планковской длины. Если вы видите точечные частицы, взаимодействующие путем самопересечения (например, бозон Хиггса в стандартной модели), вы можете предсказать, что решетка должна быть больше определенной величины только на основании наблюдаемого взаимодействия. Этот размер экспоненциально мал в связи, а для стандартной модели взаимодействия Хиггса (с известными теперь массой и связью бозона Хиггса) он намного меньше планковской длины. Если вы видите точечные частицы, взаимодействующие путем самопересечения (например, бозон Хиггса в стандартной модели), вы можете предсказать, что решетка должна быть больше определенной величины только на основании наблюдаемого взаимодействия. Этот размер экспоненциально мал в связи, а для стандартной модели взаимодействия Хиггса (с известными теперь массой и связью бозона Хиггса) он намного меньше планковской длины.

Предполагается, что тот же эффект, исчезновение скорости дальнего рассеяния, или «полюс Ландау», имеет место в квантовой электродинамике и в стандартной модели (из-за самодействия Хиггса, а также из-за калибровочной группы U (1). ). Никто не беспокоится об этом, потому что рассеяние стремится к нулю только как логарифм размера сетки, поэтому сетка, на которой возникают проблемы, меньше масштаба Планка. В таком случае пертурбативное приближение подходит, поскольку оно не приближает теорию, определенную в континууме, а приближает нечто другое, что имеет место при высоких энергиях.

В идеале, когда нам нужно решить дифференциальное уравнение, мы попытаемся решить его аналитически. Найдите явные функции, которые кодируют переменные. Например, решения для гармонического осциллятора. Решения потенциала в уравнении Шредингера. Это примеры непертурбативных решений. Они удовлетворяют дифференциальным (или интегральным) уравнениям.

Некоторые решения, тем не менее, могут быть найдены только как разложение по сумме рядов терминов; если каждый более высокий член меньше предыдущего и можно доказать, что ряд сходится, это является действительным решением, добавляя более высокие члены, если требуется большая точность. В повседневных задачах они полезны для численного программирования и получения ответа.

В физике элементарных частиц это классифицируется как «расширение возмущений», происходящее из « теории возмущений ». Первоначально предполагалось, что потенциалы, добавленные в теорию, возмущают решения свободной системы, отсюда и номенклатура. Это привело к формулировке диаграммы Фейнмана поперечных сечений взаимодействующих частиц.

Таким образом, непертурбативность должна означать чистое аналитическое решение. Это будет зависеть от контекста, в котором используется этот термин.