Ожидаемые значения когерентного состояния гармонического осциллятора

Позволять$\alpha \in {\Bbb C}$, и разреши$\vert{n}\rangle$быть состоянием гармонического осциллятора с энергией$(n+\textstyle\frac{1}{2})\hbar\omega$. В$t=0$, когерентное состояние$\vert {\alpha(0)}\rangle$определяется

$$\vert{\alpha(0)}\rangle= e^{-\vert \alpha \vert^2/2}\,\left( \sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle{\alpha^n\over \sqrt{n!}}\,\vert{n}\rangle\right) \tag{1}$$

Что$\vert{\alpha(t)}\rangle$, когерентное состояние во времени$t$? Начните с (1). С$\left\vert n\right\rangle$является собственным состоянием гамильтониана гармонического осциллятора$\hat{H}=\left( \hat a^{\dagger }\hat a+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega$с собственным значением$\left( n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega ,$временная эволюция$\left\vert n\right\rangle$просто$\left\vert n(t)\right\rangle =e^{-i(n+\frac{1}{2})\omega t}\left\vert n\right\rangle$и поэтому

$$\begin{equation} \left\vert \alpha (t)\right\rangle =e^{-\left\vert \alpha \right\vert ^{2}/2}\left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{\alpha ^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-i(n+\frac{% 1}{2})\omega t}\left\vert n\right\rangle \right) . \end{equation}$$ Легко показать, что $\left\vert \alpha (t)\right\rangle$нормализуется.

Теперь нам сначала нужно показать, что$a\vert{\alpha(t)}\rangle=\alpha e^{i\hbar \omega t}\vert{\alpha(t)}\rangle$. Напомним, что$\hat{a}\left\vert n\right\rangle =\sqrt{n}\left\vert n-1\right\rangle .$\ Тогда, поскольку$\hat{a}$линейный,

$$\begin{eqnarray} \hat{a}\left\vert \alpha (t)\right\rangle &=&e^{-\left\vert \alpha \right\vert ^{2}/2}\left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{\alpha ^{n}}{\sqrt{n!}}% e^{-i(n+\frac{1}{2})\omega t}\hat{a}\left\vert n\right\rangle \right) , \\ &=&e^{-\left\vert \alpha \right\vert ^{2}/2}\left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{% \alpha ^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-i(n+\frac{1}{2})\omega t}\sqrt{n}\left\vert n-1\right\rangle \right) , \\ &=&e^{-\left\vert \alpha \right\vert ^{2}/2}\left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{% \alpha ^{n}}{\sqrt{\left( n-1\right) !}}e^{-i(n+\frac{1}{2})\omega t}\left\vert n-1\right\rangle \right) , \\ &=&\alpha e^{-i\omega t}e^{-\left\vert \alpha \right\vert ^{2}/2}\left( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{\alpha ^{n-1}}{\sqrt{\left( n-1\right) !}}% e^{-i(n-1+\frac{1}{2})\omega t}\left\vert n-1\right\rangle \right) .\quad \end{eqnarray}$$ Сумма правильно начинается с $n=1$с тех пор $n=0$термин не существует. Таким образом, установка $m=n-1,$мы можем переписать эту сумму в терминах $m,$с $m$начинается с $m=0.$Следовательно $$\begin{eqnarray} \hat{a}\left\vert \alpha (t)\right\rangle &=&\alpha e^{-i\omega t}\left[ e^{-\left\vert \alpha \right\vert ^{2}/2}\left( \sum_{m=0}^{\infty }\frac{% \alpha ^{m}}{\sqrt{m!}}e^{-i(m+\frac{1}{2})\omega t}\left\vert m\right\rangle \right) \right] \\ &=&\alpha e^{-i\omega t}\left\vert \alpha (t)\right\rangle . \end{eqnarray}$$ Полезный вторичный результат, который непосредственно следует из вышеизложенного, состоит в следующем. $$\begin{eqnarray} \left[ \hat{a}\left\vert \alpha (t)\right\rangle \right] ^{\dagger } &=&\left\langle \alpha (t)\right\vert \hat{a}^{\dagger } \\ &=&\left[ \alpha e^{-i\omega t}\left\vert \alpha (t)\right\rangle \right] ^{\dagger }=\alpha ^{\ast }e^{i\omega t}\left\langle \alpha (t)\right\vert \end{eqnarray}$$

Сейчас$\langle \hat p(t) \rangle$и$\langle \hat x(t)\rangle$для$\vert{\alpha(t)}\rangle$. Начиная с определений

$$\hat{a} =\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\left( \hat{x}+\frac{i}{% m\omega }\hat{p}\right) , \qquad \hat{a}^{\dagger } =\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\left( \hat{x}-% \frac{i}{m\omega }\hat{p}\right) ,$$ у нас есть $$\hat{x} =\sqrt{\frac{\hbar }{2m\omega }}\left( \hat{a}^{\dagger }+% \hat{a}\right) , \qquad \hat{p} =i\sqrt{\frac{m\omega \hbar }{2}}\left( \hat{a}^{\dagger }-% \hat{a}\right) ,$$ и поэтому $$\begin{eqnarray} \left\langle x(t)\right\rangle &=&\sqrt{\frac{\hbar }{2m\omega }}\left[ \left\langle \alpha (t)\right\vert \hat{a}^{\dagger }\left\vert \alpha (t)\right\rangle +\left\langle \alpha (t)\right\vert \hat{a}\left\vert \alpha (t)\right\rangle \right]\, , \\ &=&\sqrt{\frac{\hbar }{2m\omega }}\left[ \alpha ^{\ast }e^{i\omega t}+\alpha e^{-i\omega t}\right] \left\langle \alpha (t)\right. \left\vert \alpha (t)\right\rangle \\ &=&\sqrt{\frac{\hbar }{2m\omega }}\left[ \alpha ^{\ast }e^{i\omega t}+\alpha e^{-i\omega t}\right] , \end{eqnarray}$$ что реально, как и ожидалось. Мы можем очистить это, написав $\alpha =\left\vert \alpha \right\vert e^{i\theta }$чтобы получить% $$\begin{equation} \left\langle x(t)\right\rangle =\sqrt{\frac{2\hbar }{m\omega }}\left\vert \alpha \right\vert \cos \left( \omega t-\theta \right) \tag{2} \end{equation}$$

Так же,

$$\begin{eqnarray} \left\langle p(t)\right\rangle &=&i\sqrt{\frac{m\omega \hbar }{2}}\left[ \left\langle \alpha (t)\right\vert \hat{a}^{\dagger }\left\vert \alpha (t)\right\rangle -\left\langle \alpha (t)\right\vert \hat{a}\left\vert \alpha (t)\right\rangle \right] \\ &=&i\sqrt{\frac{m\omega \hbar }{2}}\left[ \alpha ^{\ast }e^{i\omega t}-\alpha e^{-i\omega t}\right] \left\langle \alpha (t)\right. \left\vert \alpha (t)\right\rangle \\ &=&-\sqrt{2m\omega \hbar }\left\vert \alpha \right\vert \sin \left( \omega t-\theta \right) \tag{3} \end{eqnarray}$$ что опять же реально.

В вашем конкретном случае вы начинаете с когерентного состояния, для которого в$t=0$, у нас есть

$$\langle x(0)\rangle= b\sqrt{2}x_0\, ,\qquad \langle p(0)\rangle=0$$ так что это следует из (2) и (3), оцененных в $t=0$что $$b\sqrt{2}x_0=\sqrt{\frac{2\hbar }{m\omega }}\left\vert \alpha \right\vert \cos \left(\theta \right)\, , \qquad 0= \sqrt{2m\omega \hbar }\left\vert \alpha \right\vert \sin \left(\theta \right)$$ Сравнение с вашими начальными условиями дает $\theta=0$и $b\sqrt{2}x_0=\sqrt{\frac{2\hbar }{m\omega }} \alpha$с $\alpha$настоящий.

Окончательно,$\hat{x}^{2}$и$\hat{p}^{2}.$От$\hat{x}$и$\hat{p},$мы нашли

$$\begin{eqnarray} \hat{x}^{2} &=&\frac{\hbar }{2m\omega }\left( \hat{a}^{\dagger }+ \hat{a}\right) ^{2}=\frac{\hbar }{2m\omega }\left( \left( \hat{a} ^{\dagger }\right) ^{2}+\hat{a}^{\dagger }\hat{a}+\hat{a}\hat{a} ^{\dagger }+\left( \hat{a}\right) ^{2}\right) , \\ &=&\frac{\hbar }{2m\omega }\left( \left( \hat{a}^{\dagger }\right) ^{2}+2 \hat{a}^{\dagger }\hat{a}+1+\left( \hat{a}\right) ^{2}\right) , \\ \hat{p}^{2} &=&-\frac{m\omega \hbar }{2}\left( \hat{a}-\hat{a} ^{\dagger }\right) ^{2}=-\frac{m\omega \hbar }{2}\left( \left( \hat{a} ^{\dagger }\right) ^{2}-\hat{a}^{\dagger }\hat{a}-\hat{a}\hat{a}% ^{\dagger }+\left( \hat{a}\right) ^{2}\right) , \\ &=&-\frac{m\omega \hbar }{2}\left( \left( \hat{a}^{\dagger }\right) ^{2}-2% \hat{a}^{\dagger }\hat{a}-1+\left( \hat{a}\right) ^{2}\right) , \end{eqnarray}$$ где $$\begin{equation} \hat{a}\hat{a}^{\dagger }=\hat{a}\hat{a}^{\dagger }-\hat{a}% ^{\dagger }\hat{a}+\hat{a}^{\dagger }\hat{a}=\left[ \hat{a},% \hat{a}^{\dagger }\right] +\hat{a}^{\dagger }\hat{a}=1+\hat{a}% ^{\dagger }\hat{a} \end{equation}$$ был использован. Таким образом, $$\begin{eqnarray} \left\langle x^{2}(t)\right\rangle &=&\frac{\hbar }{2m\omega }\left[ \left\langle \alpha (t)\right\vert \left( \hat{a}^{\dagger }\right) ^{2}\left\vert \alpha (t)\right\rangle +2\left\langle \alpha (t)\right\vert \hat{a}^{\dagger }\hat{a}\left\vert \alpha (t)\right\rangle\right.\nonumber \\ &&\left.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad +1+\left\langle \alpha (t)\right\vert \hat{a}^{2}\left\vert \alpha (t)\right\rangle \right] , \\ &=&\frac{\hbar }{2m\omega }\left[ \left( \alpha ^{\ast }e^{i\omega t}\right) ^{2}+2\alpha ^{\ast }\alpha +1+\left( \alpha e^{-i\omega t}\right) ^{2}% \right]\, ,\\ &=&\frac{\hbar }{2m\omega }\left[ \left( \alpha ^{\ast }e^{i\omega t}+\alpha e^{-i\omega t}\right) ^{2}+1\right] , \\ &=&\frac{\hbar }{2m\omega }\left[ 4\left\vert \alpha \right\vert ^{2}\cos ^{2}\left( \omega t-\theta \right) +1\right] . \\ \left\langle p^{2}(t)\right\rangle &=&-\frac{m\omega \hbar }{2}\left[ \left\langle \alpha (t)\right\vert \left( \hat{a}^{\dagger }\right) ^{2}\left\vert \alpha (t)\right\rangle -2\left\langle \alpha (t)\right\vert \hat{a}^{\dagger }\hat{a}\left\vert \alpha (t)\right\rangle\right.\nonumber \\ &&\left.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad -1+\left\langle \alpha (t)\right\vert \hat{a}^{2}\left\vert \alpha (t)\right\rangle \right] , \\ &=&-\frac{m\omega \hbar }{2}\left[ \left( \alpha ^{\ast }e^{i\omega t}\right) ^{2}-2\alpha ^{\ast }\alpha -1+\left( \alpha e^{-i\omega t}\right) ^{2}\right]\, ,\\ &=&-\frac{m\omega \hbar }{2}\left[ \left( \alpha ^{\ast }e^{i\omega t}-\alpha e^{-i\omega t}\right) ^{2}-1\right] , \\ &=&-\frac{m\omega \hbar }{2}\left[ -4\left\vert \alpha \right\vert ^{2}\sin ^{2}\left( \omega t-\theta \right) -1\right]\, ,\\ &=&\frac{m\omega \hbar }{2}\left[ 4\left\vert \alpha \right\vert ^{2}\sin ^{2}\left( \omega t-\theta \right) +1% \right] . \end{eqnarray}$$