Связь гармонического осциллятора с этим гамильтонианом

Давайте быстро рассмотрим квантовый гармонический осциллятор. У нас есть одна частица, движущаяся в одном измерении, поэтому гильбертово пространство$L^2(\mathbb{R})$: набор интегрируемых с квадратом комплексных функций на$\mathbb{R}$. Гамильтониан гармонического осциллятора определяется выражением

где$X$и$P$- обычные операторы положения и импульса: действующие на волновую функцию$\psi(x)$они есть$X \psi(x) = x\psi(x)$и$P \psi(x) = -i\hbar\ \partial \psi / \partial x$. Конечно, мы также можем думать о них как о воздействии на абстрактный вектор.$|\psi\rangle$.

Позволив$P \to -i\hbar\ \partial/\partial x$мы могли бы решить независимое от времени уравнение Шредингера$H \psi = E \psi$, но это немного тормозит. Поэтому вместо этого мы определяем операторы$a$и$a^\dagger$как в вашем посте. Обратите внимание, что определение$a$и$a^\dagger$не имеет ничего общего с нашим гамильтонианом. Так уж получилось, что эти определения удобны тем, что гамильтониан оказывается$\hbar \omega (a^\dagger a + 1/2)$.

Для удобства определим числовой оператор$N = a^\dagger a$; на данном этапе номер — это просто имя, не имеющее физической интерпретации. Используя коммутационное соотношение$[a,a^\dagger] = 1$и немного алгебры мы замечаем, что$N$имеет невырожденный спектр, заданный натуральными числами. Другими словами, собственные значения$N$являются$\{0,1,2,\dots\}$, и каждому собственному значению$n$соответствует единственное состояние$|n\rangle$с$N|n\rangle = n |n\rangle$. Обратите внимание, что, опять же,$N$не зависит от нашего гамильтониана. Однако, поскольку гамильтониан оказывается$\hbar \omega (N+1/2)$мы сразу знаем, что состояния$|n\rangle$являются его собственными векторами с энергиями$\hbar \omega (n + 1/2)$.

Теперь вам дан другой гамильтониан. Гильбертово пространство точно такое же, как и$a$,$a^\dagger$и$N$, потому что их определение не имело ничего общего с исходным гамильтонианом. Вы по-прежнему можете использовать их свойства для нахождения энергий, собственных векторов и так далее. Штаты$|n\rangle$по-прежнему являются собственными состояниями$N$, хотя априори они могут и не быть собственными состояниями нового$H$(в упражнении 31 вас просят доказать, что они на самом деле являются собственными состояниями нового$H$). Важным моментом здесь является то, что операторы (обычно) определяются независимо от гамильтониана. Они характеризуют физическую систему. Ведь вы знаете, что есть операторы$X$и$P$, и вы без колебаний используете их с разными гамильтонианами. Гамильтониан дает эволюцию энергии и времени, но наблюдаемые и связанные с ними операторы не зависят от вашего выбора гамильтониана.

О физической интерпретации... В упражнении 31 вам предлагается доказать, что$H=\hbar\omega_0 N + \hbar \omega_1 (N^2-N)$; обратите внимание, что мы избавились от$\hbar\omega_0 /2$так как это просто константа. обычно я ожидал$\omega_1$быть меньше, чем$\omega_0$так что это маленькое возмущение (для малых$n$по крайней мере), но нас это сейчас не волнует. Ты это видишь$|n\rangle$остаются собственными состояниями гамильтониана; все, что мы сделали, это сдвинули энергии на величину$\hbar \omega_1 (N^2-N)$.

Операторы уничтожения и создания НЕ относятся к какому-либо конкретному гамильтониану. Они определяются через$X$и$P$которые являются операторами положения и импульса для ЛЮБОЙ системы, которую вы изучаете. Так уж получилось, что именно эти операторы облегчают расчеты в ШО. (На самом деле, я считаю, что эти операторы возникли из исследования Дираком SHO)

Ваш новый гамильтониан формально отличается от SHO, но на самом деле ОПЕРАТОРЫ НЕ ИЗМЕНИЛИСЬ!$N$все тот же$N$! Поскольку аргументы$H$задействовать ТОЛЬКО одного оператора$N$и произвольные скаляры,$H$и$N$коммутируют и, следовательно, собственные состояния$N$также являются собственными состояниями$H$. Так что если$H$действует на собственное состояние$N$, выход - это просто энергия. Здесь обратите внимание, что, хотя$n$больше не СЧИТАЕТ уровень возбуждения отдельного осциллятора, он по-прежнему является достаточно хорошей меткой для уровней энергии вашей новой системы.

Подводя итог, оператор$N$это всего лишь инструмент. Вы могли бы выразить свой гамильтониан в терминах других «гениальных» (или глупых) операторов и решить задачу в терминах собственных состояний этих операторов!$N$НИКАК не уникален. Он может существовать сам по себе без привязки к ШО. Я предполагаю, что это самый важный пункт, чтобы сделать.

Гамильтониан разных систем разный. Гамильтонианы разных систем не обязательно должны быть связаны. Вас учат изучать динамику гармонического осциллятора в квантовой механике, потому что она связана с квантованием электромагнитного поля, о чем вы узнаете позже. По сути, гамильтониан гармонического осциллятора такой же, как и у светового поля.

В любом случае, задание, которое вам предлагается, заключается в изучении квантовой системы с полным гамильтонианом$H=\hbar\omega_{0}a^{\dagger}a+\hbar\omega_{1}a^{\dagger}a^{\dagger}aa$. Таким образом, вы должны использовать это для решения упражнения.

Оператор уничтожения также дан в упражнении. Если вам интересно, это то же самое отношение, которое вы найдете в системе гармонического осциллятора. Я покажу тебе,

Я могу сказать, что вы путаетесь с фундаментальной концепцией квантовой механики. Я предлагаю вам вернуться и прочитать больше материалов. Если вы не разбираетесь в операторах, как вы сказали, вам следует больше узнать о математике для квантовой механики.

Я думаю, что это упражнение не очень сложное. Поскольку вы только попросили нас прояснить вашу путаницу с гамильтонианом, я не буду идти дальше этого. Если упражнение покажется вам сложным, попросите нас о конкретном помощнике. Обратите внимание, что этот сайт предназначен не для решения домашних заданий, а для помощи в выполнении домашних заданий. Если вы считаете, что мой ответ не полезен, пожалуйста, прокомментируйте ниже.