Коммутационное соотношение при временном порядке

Рассмотрим квантовую систему со следующим гамильтонианом:

(1) ЧАС ( т ) "=" ЧАС 0 + ЧАС 1 ( т ) ,
где ЧАС 0 является невзаимодействующим гамильтонианом и ЧАС 1 ( т ) возмущение, зависящее от времени.

Чтобы сформулировать теорию линейного отклика, сначала нужно выяснить оператор временной эволюции U ( т , т 0 ) путем решения соответствующего уравнения Шрёдингера:

(2) U ( т , т 0 ) "=" Т [ е − я ℏ ∫ т 0 т г т ¯ ЧАС ( т ¯ ) ] .

Кроме того, можно утверждать, что ЧАС 0 и ЧАС 1 ( т ) коммутирует при упорядочении по времени, а затем получаем следующее соотношение:

(3) Т [ е − я ℏ ∫ т 0 т г т ¯ ЧАС ( т ¯ ) ] "=" Т [ е − я ℏ ∫ т 0 т г т ¯ ЧАС 0 е − я ℏ ∫ т 0 т г т ¯ ЧАС 1 ( т ¯ ) ] .

Как я могу убедить себя поверить в это соотношение (3)? Может ли кто-нибудь помочь мне доказать это?

Ответы (2)

  1. Одно доказательство уравнения. (3): все в пути 1 по определению под временным (нормальным, радиальным и т.д.) порядковым номером:

    (А) Т ( [ А , Б ] )   "="   0 ,
    поэтому формула BCH упрощается
    (Б) Т ( е А е Б )   "="   Т ( е А + Б + 1 2 [ А , Б ] + [ вложенные термы коммутатора ] )   "="   Т ( е А + Б ) ,
    что доказывает искомое уравнение ОП. (3).

  2. Еще одно доказательство уравнения. (3): Используйте формулу Троттера .

--

1 Суть в том, что процедура упорядочения времени Т переводит не операторы в операторы, а символы/функции в операторы, ср. этот и этот пост, связанный с Phys.SE, и ссылки в нем.

Если бы это было правдой, картина взаимодействия не имела бы смысла.
@Jon: На самом деле, даже на картинке взаимодействия вы столкнетесь с той же проблемой.
@Qmechanic: Можете ли вы предоставить более подробную информацию? Потому что я из сообщества физики конденсированного состояния. И я знаю, что введение оператора упорядочения по времени — это всего лишь произведение ряда ступенчатых функций Хевисайда с различными перестановками.
Очень красиво, но Т ( [ д , п ] ) "=" ? 0 или нужно исправить картинку?
Предостережение состоит в том, что не следует применять отношения CCR внутри Т аргумент, см. например этот пост Phys,SE.

Практически во всех интересных случаях это [ ЧАС 0 , ЧАС 1 ( т ) ] ≠ 0 и поэтому вы не можете записать оператор эволюции времени как произведение двух экспонент. В данном конкретном случае подход к использованию следующий. Рассмотрим уравнение Шредингера для оператора эволюции во времени U "=" U ( т , т 0 )

я ℏ ∂ U ∂ т "=" ( ЧАС 0 + ЧАС 1 ( т ) ) U .
Давайте положим
U "=" е − я ℏ ЧАС 0 ( т − т 0 ) U я ( т , т 0 )
и вычислим уравнение эволюции для U я . Подстановкой получаем
я ℏ ∂ U я ∂ т "=" е я ℏ ЧАС 0 ( т − т 0 ) ЧАС 1 ( т ) е − я ℏ ЧАС 0 ( т − т 0 ) U я .
Это можно решить, написав
U я ( т , т 0 ) "=" Т е − я ℏ ∫ т 0 т ЧАС я ( т ′ ) г т ′
где мы установили ЧАС я ( т ) "=" е я ℏ ЧАС 0 ( т − т 0 ) ЧАС 1 ( т ) е − я ℏ ЧАС 0 ( т − т 0 ) . Затем, наконец
U ( т , т 0 ) "=" е − я ℏ ЧАС 0 ( т − т 0 ) Т е − я ℏ ∫ т 0 т ЧАС я ( т ′ ) г т ′ .
но теперь вы имеете право поместить первую экспоненту внутрь Т оператора, и это то, что вы просили. Обратите внимание, что все это известно в литературе как картина взаимодействия и является отправной точкой для создания нестационарной теории возмущений.

Коммутационное соотношение при временном порядке
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v