Ковариантная производная и правило Лейбница

Question

Ковариантная производная и правило Лейбница

пятьдесят восемь

Я прочитал страницу Википедии о ковариантной производной, моя основная проблема в этой части:

http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative#Coordinate_description

Некоторые формулы, кажется, приводят к противоречиям, я предполагаю, что делаю некоторые ошибки.

Вот несколько формул с этой страницы.

Они определяют ковариантную производную по направлению $\mathbf e_j$ , обозначенный $\nabla_{\mathbf e_j}$ или $\nabla_j$ так что:

$\nabla_{\mathbf e_j} \mathbf e _i = \nabla_j \mathbf e _i = \Gamma^k_{\ \ ij}\mathbf e_k$

И определите его так, чтобы он подчинялся правилу Лейбница.

Затем они продолжают показывать, что

Ковариантная производная

Где, кажется, они использовали

$\nabla_{\mathbf e_i} u^j = \frac {\partial u^j}{\partial x^i}$

Но позже они определяют здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative#Notation

$\nabla_{\mathbf e_i} u^j = \frac {\partial u^j}{\partial x^i} + u^k \Gamma^j_{\ \ ki}$

1) Это мое недоразумение или проблема в Википедии?

Также вместо определения:

$\nabla_j \mathbf e _i = \Gamma^k_{\ \ ij}\mathbf e_k$

Я видел в других местах символы Кристоффеля, определенные так.

$\partial_j \mathbf e _i = \Gamma^k_{\ \ ij}\mathbf e_k$

2) Является ли ковариантная производная базисных векторов такой же, как обычная производная базисного вектора? Или это просто два разных определения символов Кристоффеля?

Еще одно противоречие, которое я увидел, заключается в том, что они пишут следующую формулу:

в конце раздела "Описание координат"

где вы добавляете здесь гамму для каждого верхнего индекса и вычитаете гамму для каждого нижнего индекса в соответствии с написанным там правилом.

В соответствии с этим мне кажется, что:

$\nabla_j \mathbf e _i = \partial_j \mathbf e _i - \Gamma^k_{\ \ ij}\mathbf e_k$

Что также несовместимо с тем, как они определили ковариантную производную

3) Это противоречие или моя путаница?

Большое спасибо, извините, что так долго

Если это проблема, я могу разбить вопрос на два вопроса или что-то в этом роде.

Дэвид З.

Обычно нам нравится иметь только один вопрос в сообщении, но они достаточно тесно связаны между собой, поэтому, вероятно, можно оставить их вместе.

Ответы (1)

Ковариантная производная и правило Лейбница

Обычно нам нравится иметь только один вопрос в сообщении, но они достаточно тесно связаны между собой, поэтому, вероятно, можно оставить их вместе.

пользователь10851 · Answer 1

1) Путаница возникает из-за пропуска скобок в этих обозначениях. В первом случае мы действительно имеем

\nabla_{{\vec{е}}_{я}} ({ты}^{Дж}) "=" \frac{\partial {ты}^{Дж}}{\partial {Икс}^{я}},

$\nabla_{\vec{e}_i}(u^j) = \frac{\partial u^j}{\partial x^i},$ с

u^{j}

$u^j$ является лишь одним из неспецифических компонентов

\vec{u}

$\vec{u}$ . Во втором случае имеют в виду взять компоненту после дифференцирования тензора:

{ты}^{Дж}_{; я} "=" (\nabla_{{\vec{е}}_{я}} \vec{ты})^{Дж} "=" \frac{\partial {ты}^{Дж}}{\partial {Икс}^{я}} + {ты}^{к} Г_{к я}^{Дж} .

$u^j{}_{;i} = (\nabla_{\vec{e}_i} \vec{u})^j = \frac{\partial u^j}{\partial x^i} + u^k \Gamma^j_{ki}.$ Я использую стрелки вместо римского шрифта для обозначения векторов, чтобы подчеркнуть, какие вещи являются полными векторами (которые могут иметь индексы, например

{\vec{e}}_{i}

$\vec{e}_i$ это

i

$i$ -й вектор в вашем базисе) и какие вещи являются компонентами.

2) Должен быть только один набор символов Кристоффеля. В каком контексте было это определение?

Кроме того, ковариантные производные сводятся к частным производным на скалярах .

3) Путаница здесь происходит из-за использования $i$ в $\vec{e}_i$ в качестве метки, на которой используется базисный вектор , а не на том, какой компонент данного вектора находится на месте. Думать о $\vec{e}_i$ как один символ, например $\hat{x}$ или $\hat{y}$ . (Это обозначено римским шрифтом, а не курсивом в вопросе, который я снова заменил стрелкой, чтобы привлечь внимание к векторному характеру символа.) Мы используем нижние индексы, чтобы они не мешали верхним. надстрочные индексы, обозначающие компоненты. То есть, $\vec{e}_i$ имеет компоненты $e_i^0$ , $e_i^1$ и т. д. В качестве объекта, компоненты которого индексируются верхними индексами, используется положительный член Кристоффеля:

(\nabla_{Дж} {\vec{е}}_{я})^{к} "=" \partial_{Дж} е_{я}^{к} + Г_{Дж л}^{к} е_{я}^{л} .

$(\nabla_j \vec{e}_i)^k = \partial_j e_i^k + \Gamma^k_{jl} e_i^l.$ Обратите внимание, что

e_{i}^{k} = δ_{i}^{k}

$e_i^k = \delta_i^k$ , которая является константой и, следовательно, имеет нулевую частную производную. Стягивание символа Кристоффеля с дельтой Кронекера во втором члене оставляет только

Γ_{j i}^{k}

$\Gamma^k_{ji}$ , как и ожидалось.

о вопросе 2, он был онлайн на видеолекции, которую я не заставлю вас сидеть, если вам не интересно, я также видел это в сообщении на форуме на форуме физики, когда искал ответ на этот вопрос в Google, вот сообщение: physicsforums.com/showpost.php?p=3991829&postcount=3
Другая причина, по которой это определение имеет для меня смысл, заключается в том, что в первом выводе, который я показал, кажется, что ковариантная производная действует как обычная производная при воздействии на $u^j$ , так же, как вы написали в ответе 1, я не понимаю, почему это, я не понимаю, что вы имеете в виду под $u^j$ является «неспецифическим компонентом»
@fiftyeight Это сообщение на форуме было бы правильным, если бы все частичные производные были заменены ковариантными производными. Автор работает с (нестандартными) обозначениями, в которых под ковариантными понимаются производные векторов, а не вектор частных производных компонент. Имейте в виду, однако, что мы требуем, чтобы ковариантная производная согласовывалась с частной производной при воздействии на скаляры, поэтому $\partial_\alpha (A^i) = \nabla_\alpha (A^i)$ всегда.
@fiftyeight Чтобы уточнить ваш второй комментарий: да, ковариант и частные производные от $u^j$ одинаковы. Под "неспецифическим компонентом" я имел в виду $u^j$ может быть любой из четырех скалярных компонент $\vec{u}$ , и какой из них зависит от того, какой член в неявной сумме вы рассматриваете.
Что касается того, почему две производные должны согласовываться по скалярам, я отвечаю, что это желаемое свойство ковариантной производной, которое мы применяем, точно так же, как линейность и подчинение правилу Лейбница (произведения). (Возможно, у кого-то есть более поучительная причина.) Эти свойства вместе с парой других свойств, относящихся к сокращениям и производным метрики, однозначно определяют ковариантную производную, которую мы используем в стандартной ОТО.
Хорошо, спасибо, последнее, если можно, я действительно не понимаю, почему $u^j$ вот скаляр, насколько я знаю, скаляры - это объекты, которые не трансформируются при изменении координат. не $u^j$ преобразовать как контравариантный вектор?
Хороший улов. Под «скаляром» здесь я подразумеваю «однокомпонентную сущность» или, еще лучше, «отображение многообразия в вещественные числа». Действительно $j$ -я компонента вектора изменится при изменении координат. В любой фиксированной системе координат $u^j$ (для фиксированного $j$ ) — это просто функция с действительным знаком вашего многообразия, и именно на таких объектах мы хотим, чтобы две производные согласовывались.

Ковариантная производная и правило Лейбница

пятьдесят восемь

Дэвид З.

Ответы (1)

пользователь10851

пятьдесят восемь

пятьдесят восемь

пользователь10851

пользователь10851

пользователь10851

пятьдесят восемь

пользователь10851

Несоответствие с частными производными как базисными векторами?

Скобка Пуассона в общей теории относительности и тензорный вес

Коммутируют ли контравариантные и ковариантные частные производные в ОТО?

Использование −g−−−√−g\sqrt{-g} в интегралах правильного объема

Что имеется в виду, когда говорят, что «оператор частной производной ∂/∂xµ∂/∂xµ\partial/\partial x^\mu является ковариантным вектором»?

Коммутатор ковариантных производных, действующих на векторную плотность

Естественность тензорных полей в ОТО?

Почему в ОТО упор делается на тензорные уравнения?

Зачем нам нужна метрика для определения градиента?

Почему тензор Риччи определяется как RμνμσRνμσμR^\mu _{\nu \mu \sigma}?