Почему в ОТО упор делается на тензорные уравнения?

Question

Почему в ОТО упор делается на тензорные уравнения?

Андрей

В моем понимании цель использования тензорных уравнений в ОТО состоит в том, чтобы убедиться, что они верны во всех системах координат. Я понимаю, что запись уравнений тензорно гарантирует, что это будет так; однако не существуют ли нетензорные уравнения, которые также были бы верны во всех системах координат?

Например, тензор можно определить по его компонентам и по тому, как они переходят из одной системы координат в другую (закон преобразования тензора). Мне кажется, что можно было бы определить какую-то другую величину, которая преобразуется по другому закону преобразования, и что уравнения, записанные в этой величине, также были бы справедливы во всех системах координат.

Я также видел тензоры, определенные как геометрические объекты на многообразии, которые действуют как линейные формы на касательном и кокасательном пространствах на многообразии. Это геометрическое определение сразу же гарантирует независимость от координат. Опять же, я не понимаю, почему мы не можем определить более общий геометрический объект (т. е. не тензор) и сделать его основой наших координатно-независимых уравнений.

Подводя итог, почему в ОТО делается акцент на тензорных уравнениях, когда мне кажется, что должно быть много нетензорных уравнений, которые справедливы и во всех системах координат?

РЕДАКТИРОВАТЬ: В качестве примера рассмотрим некоторое произвольное отображение из касательного пространства в вещественные числа, которое не является линейным в касательных векторах. Это независимое от координат определение. Единственная разница между этими объектами и тензорами заключается в том, что для тензоров отображение является линейным. Я предполагаю, что нелинейность означает, что эти объекты не будут иметь простых, легко интерпретируемых «компонентов» в каждой системе координат, но я не понимаю, почему мы до сих пор не можем сделать важные утверждения о геометрии пространства-времени, используя их.

Илье

Что вы хотите делать с этими «другими количествами»?

пользователь107153

Я думаю, вместо того, чтобы строить гипотезы об этих объектах, вы должны попытаться привести их примеры.

Глубокий

Я думаю, что вопрос касается не только ОТО, но и любой области, в которой используются тензоры, например, механики жидкости.

пользователь4552

Является ли нелинейная функция единственной функцией, заданной раз и навсегда, применимой к каждому объекту в пределах определенного класса объектов? Или нелинейная функция различна для каждой функции в конкретном классе?

Ответы (3)

Почему в ОТО упор делается на тензорные уравнения?

Что вы хотите делать с этими «другими количествами»?
Я думаю, вместо того, чтобы строить гипотезы об этих объектах, вы должны попытаться привести их примеры.
Я думаю, что вопрос касается не только ОТО, но и любой области, в которой используются тензоры, например, механики жидкости.
Является ли нелинейная функция единственной функцией, заданной раз и навсегда, применимой к каждому объекту в пределах определенного класса объектов? Или нелинейная функция различна для каждой функции в конкретном классе?

Бенце Рашко · Answer 1

Существуют независимые от координат объекты, которые не являются тензорами.

Связи, плотности, спиноры, сечения пучков волокон вообще и т.д.

Однако тензоры

связанный с геометрией многообразия (сравните это с разделами произвольного векторного расслоения)
имеют линейную зависимость от направлений.

Я собираюсь проиллюстрировать это тем же примером, который Уолд использует в своей книге по GR. Представьте себе магнитное поле $B$ пронизывающее пространство. У вас есть детектор, который измеряет магнитное поле в том направлении, куда указывает зонд детектора. Как измерить магнитное поле в точке $x$ ?

Вы выбираете и записываете три линейно независимых положения датчика. Поскольку зонд, вероятно, использует одни и те же единицы измерения во всех направлениях и имеет одинаковую чувствительность, все три направления можно принять за единичные векторы.

Пусть три направления будут $e_1,e_2$ и $e_3$ . Вы делаете три измерения, они возвращают значения

Б_{1} "=" Б (е_{1}), Б_{2} "=" Б (е_{2}), Б_{3} "=" Б (е_{3}) .

$B_1=B(e_1),\ B_2=B(e_2),\ B_3=B(e_3).$

Как видите, магнитное поле играет здесь роль ковектора, а не вектора. Отсюда можно составить магнитное поле как

Б "=" Б_{1} е^{1} + Б_{2} е^{2} + Б_{3} е^{3},

$B=B_1 e^1+B_2 e^2+B_3e^3,$ где

e^{i}

$e^i$ является двойным базисным элементом

e_{i}

$e_i$ .

Метрический тензор

г_{я Дж} "=" (\begin{matrix} 1 & потому что α_{12} & потому что α_{13} \\ потому что α_{12} & 1 & потому что α_{23} \\ потому что α_{13} & потому что α_{23} & 1 \end{matrix})

$g_{ij}=\left(\begin{matrix} 1 && \cos\alpha_{12} && \cos\alpha_{13} \\ \cos{\alpha_{12}} && 1 && \cos{\alpha_{23}} \\ \cos{\alpha_{13}} && \cos{\alpha_{23}} && 1\end{matrix}\right)$ где

α_{i j}

$\alpha_{ij}$ это угол между

e_{i}

$e_i$ и

e_{j}

$e_j$ .

Вектор магнитного поля определяется выражением $\sharp B=g^{1i}B_ie_1+g^{2i}B_ie_2+g^{3i}B_ie_3$ , величина определяется выражением $||B||=g^{ij}B_iB_j$ и т. д.

Теперь, если вместо линейной зависимости от направлений $B$ была некоторая произвольная гладкая функция $B:T_xM\rightarrow\mathbb{R}$ , то вам потребуется бесконечное количество измерений (в бесконечном количестве направлений), чтобы восстановить его в точке.

Ясно, что эти «зависящие от направления» величины в физике ведут себя таким образом, что вам не нужно бесконечное количество измерений, чтобы измерить их в точке. Если бы они это сделали, физики в том виде, в каком мы ее знаем, не существовало бы! Итак, причина, по которой мы используем тензоры, заключается в том, что физика измерима.

Я почти уверен, что для линейных функций $\left\{\omega_n: T_xM \to \mathbb{R}\right\}$ такой, что для $\vec{v}\in T_xM$ , $\lim_{n\to\infty}\sum_{n=0}^m \left(\omega_n(\vec{v})\right)^n$ сходится (обратите внимание, здесь нет ESC!), то это ряд Тейлора, и поэтому вы можете выразить довольно общие нелинейные функции, используя набор тензоров. Но вообще вам нужно бесконечное множество, что вы и подчеркивали.
Я дам вам +20, если вы найдете мне зонд, который использует разные единицы измерения при ориентации в разных направлениях.
В дополнение к приведенным вами примерам, таким как символы Кристоффеля и тензорные плотности, я думаю, можно просто построить неоднородные n-кортежи, например, объект $(f,\omega)$ это упорядоченная пара, построенная из скаляра и ковектора.
Спасибо за ответ. Одна мысль: тензор Эйнштейна обычно мотивируется тем, что он является единственным тензором, образованным метрикой и ее первой и второй производными. Кажется, нам действительно повезло, что то, как материя искривляет пространство-время, прекрасно описывается тензорным уравнением! Если бы это было немного сложнее (не тензорное), у нас, похоже, не было бы надежды легко измерить это отношение. (Конечно, СТО учит нас, что энергия-импульс является тензорной величиной, поэтому, возможно, это мотивирует тензорный характер меры кривизны на левой стороне уравнений поля Эйнштейна)

Мозибур Улла · Answer 2

Хороший вопрос, который обычно не затрагивается в литературе по физике, когда они вводят закон тензорного преобразования.

Попробуйте визуализировать это геометрически: возьмем простой пример, деформируя поверхность сферы в эллипсоид; если мы возьмем небольшой (т.е. бесконечно малый) участок шара и посмотрим, как он трансформируется, то увидим, что существует полилинейная зависимость ; этот пример можно обобщить на произвольные многообразия в любом декартовом пространстве, а также можно, немного подумав, отказаться от вложения.

Полилинейное преобразование универсально характеризуется тензорами, а затем, взяв базис, мы получаем обычное свойство преобразования координат, которое характеризует тензоры, распространенные в литературе по физике.

Лучшей ссылкой, которую я видел для этого, является книга Лиса по дифференциальной геометрии и тензорной геометрии Додсона, хотя он склонен использовать некоторую идиосинкразическую терминологию.

Риад · Answer 3

Тензоры сами по себе не гарантируют правильность формулы во всех системах координат. Уравнения Навье-Стокса, например, могут быть записаны в тензорной форме, но они не зависят от координат. На самом деле вам нужно свойство ковариантной производной. С другой стороны, тензорная форма необходима для описания напряжений на поверхности. Например, чтобы описать напряжение сдвига на поверхности, вам нужен один вектор, лежащий на поверхности, для описания силы на этой поверхности с величиной и направлением. Но тогда вам нужен другой вектор для описания положения и ориентации самой поверхности — отсюда и два индекса тензора второго ранга.

Почему в ОТО упор делается на тензорные уравнения?

Андрей

Илье

пользователь107153

Глубокий

пользователь4552

Ответы (3)

Бенце Рашко

пользователь107153

Джим

пользователь4552

Андрей

Мозибур Улла

Риад

Несоответствие с частными производными как базисными векторами?

Скобка Пуассона в общей теории относительности и тензорный вес

Коммутируют ли контравариантные и ковариантные частные производные в ОТО?

Использование −g−−−√−g\sqrt{-g} в интегралах правильного объема

Что имеется в виду, когда говорят, что «оператор частной производной ∂/∂xµ∂/∂xµ\partial/\partial x^\mu является ковариантным вектором»?

Коммутатор ковариантных производных, действующих на векторную плотность

Ковариантная производная и правило Лейбница

Естественность тензорных полей в ОТО?

Зачем нам нужна метрика для определения градиента?

Почему тензор Риччи определяется как RμνμσRνμσμR^\mu _{\nu \mu \sigma}?