Конечная скорость при падении на центр Земли [закрыто]

Question

Конечная скорость при падении на центр Земли [закрыто]

Инерционное невежество

Может ли кто-нибудь сказать мне, какова будет конечная скорость объекта, если он упадет с поверхности Земли в ее центр (при условии отсутствия сопротивления воздуха). Поскольку это связано с постоянным изменением ускорения из-за уменьшения расстояния объекта до центра Земли, я уверен, что это связано с исчислением (которое я не знаю, как сделать).

Я написал программу, которая пересчитывает ускорение через каждые 0,3 м, и она дала мне конечную скорость 9,6 x 10^7 м/с. Это близко к точному ответу?

Филип Вуд

Как вы увидите из моего ответа, я думаю, что ваш ответ неверен. Если вам нужна помощь в диагностике проблемы, нам нужно знать, как вы рассчитывали ускорение. Он пропорционален расстоянию от истинного центра Земли, если предположить, что Земля является однородной сферой.

StephenG - Помощь Украине

Эта страница может помочь.

Инерционное невежество

+Филип Вуд Я сделал компьютерную программу для своих расчетов. По сути, на каждом метре падения объекта я пересчитывал значение ускорения, используя: g = GM / r^2. Затем для этого интервала расстояния в 1 м я рассчитал конечную скорость объекта в конце расстояния в 1 м, используя vf^2 = vi^2 + 2ad. Vf от этого был затем vi, который я использовал на следующем интервале дистанции 1 метр. Я продолжал делать это до тех пор, пока расстояние объекта от центра Земли не стало равным нулю.

ннович-ОК

Проверьте ссылку @StephenG. Ваша формула ускорения неверна, она должна быть

a = g \frac{r}{R}

$a = g \frac{r}{R}$

Майк Данлави

Я предполагаю, что шахтный ствол идет вниз без трения, поэтому вы можете игнорировать силу Кориолиса. Знаешь что

g

$g$ находится на радиусе поверхности

R

$R$ . Когда

r = R / 2

$r = R/2$ ,

1 / r^{2}

$1/r^2$ в 4 раза сильнее, но тяга массы

M / 8

$M/8$ (потому что вся внешняя масса уравновешивается). Значит, сила тяжести линейна по

r

$r$ , точно так же, как пружина, так что это говорит о простом гармоническом движении. Нет?

Ответы (2)

Конечная скорость при падении на центр Земли [закрыто]

Как вы увидите из моего ответа, я думаю, что ваш ответ неверен. Если вам нужна помощь в диагностике проблемы, нам нужно знать, как вы рассчитывали ускорение. Он пропорционален расстоянию от истинного центра Земли, если предположить, что Земля является однородной сферой.
+Филип Вуд Я сделал компьютерную программу для своих расчетов. По сути, на каждом метре падения объекта я пересчитывал значение ускорения, используя: g = GM / r^2. Затем для этого интервала расстояния в 1 м я рассчитал конечную скорость объекта в конце расстояния в 1 м, используя vf^2 = vi^2 + 2ad. Vf от этого был затем vi, который я использовал на следующем интервале дистанции 1 метр. Я продолжал делать это до тех пор, пока расстояние объекта от центра Земли не стало равным нулю.
Проверьте ссылку @StephenG. Ваша формула ускорения неверна, она должна быть $a = g \frac{r}{R}$
Я предполагаю, что шахтный ствол идет вниз без трения, поэтому вы можете игнорировать силу Кориолиса. Знаешь что $g$ находится на радиусе поверхности $R$ . Когда $r = R/2$ , $1/r^2$ в 4 раза сильнее, но тяга массы $M/8$ (потому что вся внешняя масса уравновешивается). Значит, сила тяжести линейна по $r$ , точно так же, как пружина, так что это говорит о простом гармоническом движении. Нет?

Стивен · Answer 1

Ваша процедура работает, только учтите систематическую погрешность (чем меньше шагов, тем точнее результат, конечно). Это версия численного моделирования, хорошо известного метода прогнозирования.

Но ошибка показывает в вашем методе из комментариев.

Формула
$г "=" г \frac{М}{р^{2}}$ $g=G\frac{M}{r^2}$ справедливо только за пределами Земли. Масса Земли постоянна, но ее гравитационное притяжение «распространяется» на квадратично большую площадь (площадь сферической поверхности равна $4\pi r^2$ , так что, например, удвоение расстояния увеличивает в четыре раза площадь, которую должна втягивать та же масса). Точнее говоря, гравитационное поле , то есть то, что $g$ представляет собой, «расплывается больше» и становится квадратично слабее с расстоянием.
С другой стороны, внутри Земли некоторая масса уравновешивается . Это не одна и та же масса, втягивающая вас все время, как предполагала приведенная выше формула. В центре гравитация равна нулю, так как одинаковое количество массы одинаково тянет во всех направлениях. Если вы спускаетесь к центру, то получается, что вся масса «над» вами (сферическая оболочка над вами) уравновешивает сама себя и оставляет всю массу «под» вами (сфера под вами) как бы в одиночестве - как если бы это была меньшая планета, притягивающая вас.

Таким образом, ту же формулу можно использовать внутри Земли, если всю массу Земли заменить массой «ниже»:

г "=" г \frac{М_{б е л о ж}}{р^{2}} "=" г \frac{В_{б е л о ж} ϱ}{р^{2}} "=" г \frac{\frac{4}{3} π р^{3} ϱ}{р^{2}} "=" г \frac{4}{3} ϱ π р

$g=G\frac{M_{below}}{r^2}=G\frac{V_{below}\varrho}{r^2}=G\frac{\frac43\pi r^3\varrho}{r^2}=G\frac43 \varrho \pi r$

Здесь масса делится на плотность и объем $M=V\varrho$ и сфера-объем $V=\frac43 \pi r^3$ . Однако это предполагает постоянную плотность по всей глубине Земли, что не совсем так. Более реалистичное изменение силы тяжести показано на графике в ответ на этот вопрос. Но для вашего проекта этого предположения может быть достаточно. (Среднюю плотность можно посмотреть в Google.)

Отлично, спасибо за очень подробный ответ ... теперь это имеет гораздо больше смысла. Вы правы, я неправильно предположил, что формула g = GM / r ^ 2 применяется и внутри Земли.

Филип Вуд · Answer 2

Филип Вуд

я сделала это $7900\ \text{m}\ \text{s}^{-1}.$ Это использует теорию простого гармонического движения.

Инерционное невежество

Думаю, тогда я сильно ошибся... Есть ли причина, по которой базовые кинематические расчеты не работают для такого типа задач?

Гарип

Движение не было бы простым гармоническим. Пожалуйста, дайте нам знать, что вы сделали. Я собираюсь предположить, что этот ответ неверен.

ннович-ОК

@garyp Само значение правильное, я получил то же самое, найдя потенциальную энергию тела на поверхности (интегрировать гравитационную работу на малых путях

d r

$dr$ ) и получением из него кинетической энергии тела в центре. Однако ответ без каких-либо объяснений сильно сбивает с толку, так как нет возможности легко проверить расчеты.

грабить

@garyp На самом деле для сферы с одинаковой плотностью

\sim 1 / r^{2}

$\sim 1/r^2$ сила гравитации вступает в сговор с

\sim r^{3}

$\sim r^3$ замкнутая масса, чтобы заставить силу изменяться, как

F \propto r

$F\propto r$ , поэтому движение в этой простой модели является простым гармоническим. Другой ответ делает это правильно.

Филип Вуд

Я немного озадачен отрицательными голосами за мой короткий ответ (выше). Инерционное Неведение спросило, был ли его ответ правильным; Я дал совсем другой ответ и намекнул, как я к этому пришел. Что я сделал не так? Должен ли я был тут же дать полное решение для Земли как однородной сферы?

Конечная скорость при падении на центр Земли [закрыто]

Инерционное невежество

Филип Вуд

StephenG - Помощь Украине

Инерционное невежество

ннович-ОК

Майк Данлави

Ответы (2)

Стивен

Инерционное невежество

Филип Вуд

Инерционное невежество

Гарип

ннович-ОК

грабить

Филип Вуд

Какое расстояние пролетит пуля, прежде чем упадет на землю? [закрыто]

Закон Кеплера и моя проблема

Нахождение положения планеты между двумя другими планетами известной массы и расстояния

Где мы находимся: На ровном месте или на пандусе - в поезде?

Какое влияние оказывает расстояние до Луны на высоту приливов?

Как найти силу сжатия ядра планеты?

Математическая модель для этого графика упрощенной двойной звездной системы?

Влияет ли поверхностное натяжение на форму планеты?

Какова будет скорость кометы, падающей на Землю из бесконечности в момент удара, если у Земли не будет атмосферы?

Может ли небесное тело иметь гору, поднимающуюся до синхронной орбиты?