Преобразование обобщенных координат

Одним из преимуществ лагранжевой формулировки является то, что уравнения движения имеют один и тот же вид независимо от выбора обобщенных координат. Предположим, что система имеет$s$степеней свободы, и пусть$q_i (i = 1, 2, ..., s)$— обобщенные координаты (ОК). Уравнения Лагранжа движения

$$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \tag{1} \label{Lq}$$ Тогда при преобразовании СУ вида $$Q_i = Q_i(q_1,...,q_s,t), \ i = 1,2,...,s \tag{2} \label{Qq}$$ считается, уравнения движения будут иметь тот же вид, только $q_i$заменено на $Q_i$, а лагранжиан выражается в новых GC: $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{Q_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial Q_i} = 0. \tag{3} \label{LQ}$$

Я пытаюсь доказать это утверждение следующим образом. Используя цепное правило,

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{Q_i}} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}} \frac{\partial \dot{q_k}}{\partial \dot{Q_i}}.$$ $q_k$можно получить, обратив приведенное выше преобразование GC $\eqref{Qq}$как $$q_k = q_k(Q_1,...,Q_s,t), \ k = 1,2,...,s. \tag{4} \label{qQ}$$ Затем $$\dot{q_k} = \frac{\partial q_k}{\partial Q_i} \dot{Q_i} + \frac{\partial q_k}{\partial t}$$ и $$\frac{\partial \dot{q_k}}{\partial \dot{Q_i}} = \frac{\partial q_k}{\partial Q_i}.$$ Таким образом, $$\frac{\partial L}{\partial \dot{Q_i}} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}} \frac{\partial q_k}{\partial Q_i}. \tag{5} \label{term1}$$ Также, $$\frac{\partial L}{\partial Q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_k} \frac{\partial q_k}{\partial Q_i}. \tag{6} \label{term2}$$ Замена $\eqref{term1}$и $\eqref{term2}$в $\eqref{LQ}$: $$\frac{\partial q_k}{\partial Q_i} \left\lbrace\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_k}\right\rbrace + \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}} \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial q_k}{\partial Q_i}\right)=0.$$ Теперь термин в фигурных скобках равен нулю из-за $\eqref{Lq}$, но с тех пор $\frac{\partial q_k}{\partial Q_i}$является функцией времени, последний член, который должен быть равен нулю, если уравнения Лагранжа инвариантны относительно преобразования GC вида $\eqref{Qq}$, не будет равно нулю.

Где я делаю неправильно?