Концептуальные вопросы формулировки интеграла по путям в КТП

Question

Концептуальные вопросы формулировки интеграла по путям в КТП

Воля

В настоящее время я пытаюсь научить себя формулировке интеграла по путям в КТП (ранее изучив канонический подход), но у меня есть некоторые концептуальные трудности, которые, я надеюсь, смогу здесь прояснить.

Для простоты рассмотрим случай свободного единственного действительного скалярного поля. Формулировка интеграла по путям для двухточечного коррелятора в этом случае дается выражением

⟨ 0 | Т {\hat{ф} (Икс) \hat{ф} (у)} | 0 ⟩ "=" (- я^{2}) \frac{1}{Z [0]} \frac{{дельта}^{2} Z [Дж]}{дельта Дж (Икс) дельта Дж (у)} |_{Дж "=" 0}

$\langle 0\lvert T\lbrace\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y)\rbrace\lvert 0\rangle =(-i^{2})\frac{1}{Z[0]}\frac{\delta^{2}Z[J]}{\delta J(x)\delta J(y)}\bigg\lvert_{J=0}$ где

Z [Дж] "=" \int Д ф е^{я \int д^{4} Икс (- \frac{1}{2} ф (◻ + м^{2}) ф + Дж (Икс) ф (Икс))}

$Z[J]=\int\mathcal{D}\phi\; e^{i\int d^{4}x\left(-\frac{1}{2}\phi (\Box +m^{2})\phi+J(x)\phi (x)\right)}$ является производящим функционалом для свободной теории.

Вот в чем заключается моя проблема. Являются ли поля $\phi (x)$ в функциональном $Z[J]$ классические поля или операторные поля?

Если это классические поля, то определяет ли интеграл по путям какое-то отображение между полевыми операторами $\hat{\phi}(x)$ и их классические (c-числа) аналоги?

Книги, которые я читал до сих пор (книга КТП Средненицкого и "КТП и Стандартная модель" М. Шварца), кажутся немного двусмысленными в этой области.

Любопытный Разум

Интеграл по траекториям объединяет классические поля.

Воля

@ACuriousMind Я так и думал, но хотел убедиться. Под «классическим полем» подразумевается просто то, что значение поля в точке пространства-времени

x^{μ}

$x^{\mu}$ является собственным значением оператора поля

\hat{ϕ} (x)

$\hat{\phi}(x)$ в таком случае? Кроме того, есть ли какие-либо книги по интегральному подходу, которые вы бы особенно порекомендовали?

Qмеханик

По сути, дубликат physics.stackexchange.com/q/9183/2451 .

hft

Классические поля. LHS — это просто число (из-за ожидаемого значения <0| ... |0>). Таким образом, RHS также должен быть просто числом, поэтому поля не могут быть операторными в RHS. Это досадное злоупотребление обозначениями.

Ответы (1)

Концептуальные вопросы формулировки интеграла по путям в КТП

Интеграл по траекториям объединяет классические поля.
@ACuriousMind Я так и думал, но хотел убедиться. Под «классическим полем» подразумевается просто то, что значение поля в точке пространства-времени $x^{\mu}$ является собственным значением оператора поля $\hat{\phi}(x)$ в таком случае? Кроме того, есть ли какие-либо книги по интегральному подходу, которые вы бы особенно порекомендовали?
По сути, дубликат physics.stackexchange.com/q/9183/2451 .
Классические поля. LHS — это просто число (из-за ожидаемого значения <0| ... |0>). Таким образом, RHS также должен быть просто числом, поэтому поля не могут быть операторными в RHS. Это досадное злоупотребление обозначениями.

проф. Леголасов · Answer 1

В интеграле по путям $\phi$ является не оператором, а фиктивной переменной интегрирования, которая работает со всеми возможными классическими конфигурациями поля.

Вы можете перейти между двумя формализмами, используя следующее соотношение:

⟨ 0 | Т {\hat{а} \hat{б} . . . \hat{г}} | 0 ⟩ "=" \frac{\int Д ф е^{я С [ф] / ℏ} \cdot а (ф) б (ф) . . . г (ф)}{\int Д ф е^{я С [ф] / ℏ}},

$\left< 0 \right| T \left\{ \hat{a} \hat{b} ... \hat{z} \right\} \left| 0 \right> = \frac{\int D\phi e^{i S[\phi] / \hbar} \cdot a(\phi) b(\phi) ... z(\phi)}{\int D\phi e^{i S[\phi] / \hbar}},$

где:

$S[\phi]$ это классическое действие
$a(\phi), b(\phi), ..., z(\phi)$ некоторые классические наблюдаемые (функции на конфигурационном пространстве)
$\hat{a}, \hat{b}, ..., \hat{z}$ являются соответствующими квантовыми операторами. Здесь есть неоднозначность порядка, но она разрешается
$T$ является символом хронологического упорядочения (переупорядочивает строку операторов по координате времени по убыванию)

В правой части уравнения в вашем ответе следует ли это из операторов, действующих на собственные состояния поля, например $\hat{a}\lvert \phi\rangle = a(\phi)\lvert\phi\rangle$ ? Является ли это своего рода отображением между операторным формализмом и формализмом интеграла по путям, так что они производят одни и те же корреляционные функции?
@Будет точно. Доказательство можно найти практически в любом учебнике по QFT.
Есть ли какие-то конкретные книги по QFT, которые вы могли бы порекомендовать?
@Уилл Пескин и Шредер были бы моим выбором, хотя могут быть и лучшие варианты
Справа внутри интеграла: Где $a(\phi)$ оценивается? Поскольку они являются функциями конфигурационного пространства, а не функционалами, должно быть что-то вроде $a(\phi(x))$ или что-то вроде того.
@Quantumwhisp каждому квантовому оператору можно связать функционал классической конфигурации. Подробности этой процедуры можно найти в любом введении к интегралам по путям.

Концептуальные вопросы формулировки интеграла по путям в КТП

Воля

Любопытный Разум

Воля

Qмеханик

hft

Ответы (1)

проф. Леголасов

Воля

проф. Леголасов

Воля

проф. Леголасов

Квантовый шепот

проф. Леголасов

Почему временной порядок (а не пространственный)?

Эквивалентность канонического квантования и квантования интеграла по путям

В каком смысле интеграл по траекториям является независимой формулировкой квантовой механики/теории поля?

Являются ли формализм интеграла по путям и формализм оператора неэквивалентными?

Неправильное определение матричных элементов оператора в формализме интеграла по путям?

Какова связь между гильбертовым пространством и интегралами по траекториям?

Гамильтониан в путевом интеграле КМ/КТП является преобразованием Вигнера (символом Вейля)? оператора Гамильтона?

Интеграл по путям в QM против QFT

Почему подход интеграла по путям может страдать от проблемы порядка операторов?

Почему гамильтониан и лагранжиан взаимозаменяемы в расчетах возмущений КТП