Являются ли формализм интеграла по путям и формализм оператора неэквивалентными?

Question

Являются ли формализм интеграла по путям и формализм оператора неэквивалентными?

СлучайныйПреобразование Фурье

Абстрактный

Определение распространителя $\Delta(x)$ в формализме континуального интеграла (PI) отличается от определения в операторном формализме (OF). В целом определения совпадают, но легко написать теории там, где они не совпадают. В этих случаях, действительно ли PI и OF не эквивалентны, или разумно ожидать, что $S$ матрицы обеих теорий согласуются?

Для определенности я буду рассматривать вещественное скалярное поле $\phi$ , с действием

\begin{matrix} (1) & С_{0} "=" \int г Икс \frac{1}{2} (\partial ф)^{2} - \frac{1}{2} м^{2} ф^{2} \end{matrix}

$S_0=\int\mathrm dx\ \frac{1}{2}(\partial \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2 \tag{1}$

Формализм интеграла по путям

В PI мы вставляем исходный термин в действие,

\begin{matrix} (2) & С_{Дж} "=" С_{0} + \int г Икс ф (Икс) Дж (Икс) \end{matrix}

$S_J=S_0+\int\mathrm dx\ \phi(x)\ J(x) \tag{2}$

Смешанный термин $\phi J$ можно упростить с помощью обычного трюка: подходящей заменой переменных действие можно записать в виде двух независимых членов

\begin{matrix} (3) & С_{Дж} "=" С_{0} + \int г Икс г у Дж (Икс) Δ_{п я} (Икс - у) Дж (у) \end{matrix}

$S_J=S_0+\int \mathrm dx\;\mathrm dy\ J(x)\Delta_\mathrm{PI}(x-y)J(y) \tag{3}$ и это отношение определяет

Δ_{P I} (x)

$\Delta_\mathrm{PI}(x)$ : чтобы привести действие в эту форму, мы должны решить

(\partial^{2} + m^{2}) Δ_{P I} = δ (x)

$(\partial^2+m^2)\Delta_{\mathrm{PI}}=\delta(x)$ , т. е. в PI пропагатор определяется как функция Грина уравнений Эйлера-Лагранжа

S_{0}

$S_0$ . Это определение мотивировано тем, что когда

S_{J}

$S_J$ записывается как

(3)

$(3)$ статистическая сумма может быть факторизована как

\begin{matrix} (4) & Z [Дж] "=" Z [0] опыт [я \int г Икс г у Дж (Икс) Δ_{п я} (Икс - у) Дж (у)] \end{matrix}

$Z[J]=Z[0]\exp\left[i\int \mathrm dx\;\mathrm dy\ J(x)\Delta_\mathrm{PI}(x-y)J(y) \right] \tag{4}$ что упрощает вычисление функциональных производных. Например, если мы различаем

Z [J]

$Z[J]$ два раза мы получаем

\begin{matrix} (5) & ⟨ 0 | Т ф (Икс) ф (у) | 0 ⟩ "=" Δ_{п я} (Икс - у) \end{matrix}

$\langle0|\mathrm T\ \phi(x)\phi(y)|0\rangle=\Delta_\mathrm{PI}(x-y) \tag{5}$

В этом формализме пропагатор всегда является функцией Грина дифференциального оператора теории.

Операторный формализм

В OF пропагатор определяется как сжатие двух полей:

\begin{matrix} (6) & Δ_{О Ф} (Икс - у) \equiv \bar{ф (Икс) ф} (у) \equiv {\begin{cases} [ф^{+} (Икс), ф^{-} (у)] & {Икс}^{0} > у^{0} \\ [ф^{+} (у), ф^{-} (Икс)] & {Икс}^{0} < у^{0} \end{cases} \end{matrix}

$\Delta_\mathrm{OF}(x-y)\equiv \overline{\phi(x)\phi}(y)\equiv \begin{cases}[\phi^+(x),\phi^-(y)]&x^0>y^0\\ [\phi^+(y),\phi^-(x)]&x^0<y^0\end{cases} \tag{6}$ где

ϕ^{\pm}

$\phi^\pm$ положительная и отрицательная частотные части

ϕ

$\phi$ .

В общем, $\Delta_\mathrm{OF}$ является оператором, но если он коммутирует со всем (точнее, если пропагатор находится в центре операторной алгебры), мы можем доказать теорему Вика, которая, в свою очередь, означает, что

\begin{matrix} (7) & ⟨ 0 | Т ф (Икс) ф (у) | 0 ⟩ "=" Δ_{О Ф} (Икс - у) \end{matrix}

$\langle 0|\mathrm T\ \phi(x)\phi(y)|0\rangle=\Delta_\mathrm{OF}(x-y) \tag{7}$ т. е. пропагатор совпадает с двухточечной функцией. Это позволяет очень легко увидеть, например, что

\begin{matrix} (8) & Δ_{О Ф} "=" Δ_{п я} \end{matrix}

$\Delta_\mathrm{OF}=\Delta_\mathrm{PI} \tag{8}$

В этой теории тот факт, что пропагатор является функцией Грина, является следствием, а не определением. Теорема может не сработать, если предположения не выполняются.

Несоответствие

Положительные/отрицательные частотные составляющие $\phi$ операторы рождения и уничтожения, которые в ОП обычно удовлетворяют

\begin{matrix} (9) & [ф^{+} (Икс), ф^{-} (у)] \propto дельта (Икс - у) \cdot 1_{ЧАС} \end{matrix}

$[\phi^+(x),\phi^-(y)]\propto\delta(x-y)\cdot1_\mathcal H \tag{9}$ и поэтому

\bar{ϕ (x) ϕ} (y)

$\overline{\phi(x)\phi}(y)$ является c-числом. Это означает, что предположения теоремы Вика выполнены и

(8)

$(8)$ держит.

Отношение $(9)$ можно вывести из одного из основных предположений OF: канонических коммутационных соотношений:

\begin{matrix} (10) & [ф (Икс), π (у)] "=" дельта (Икс - у) \cdot 1_{ЧАС} \end{matrix}

$[\phi(x),\pi(y)]=\delta(x-y)\cdot1_\mathcal H\tag{10}$

Но если мы воспользуемся любым нетривиальным оператором в правой части $(10)$ вместо $1_\mathcal H$ , теорема Вика нарушается и вообще $\Delta_\mathrm{PI}\neq \Delta_\mathrm{OF}$ . Можно утверждать, что правая часть $(10)$ фиксируется по рецепту Дирака $\{\cdot,\cdot\}_\mathrm{D}\to\frac{1}{i\hbar}[\cdot,\cdot]$ , где $\{\cdot,\cdot\}_\mathrm{D}$ является скобкой Дирака. В Стандартной модели легко доказать, что $\{\cdot,\cdot\}_\mathrm{D}$ всегда пропорциональна единице, но в более общей теории у нас могут быть сложные ограничения, которые сделали бы скобку Дирака нетривиальной — читай, не пропорциональной единице — и, следовательно, $\Delta_\mathrm{OF}\neq\Delta_\mathrm{PI}$ .

Скалярные, спинорные и векторные КТП всегда удовлетворяют соотношению, подобному $(10)$ , и, следовательно, формализмы OF и PI согласуются. Но в принципе можно изучать более общие КТП, где мы используем коммутационное соотношение, более сложное, чем $(10)$ . Я не знаю никакого практического применения этого, но мне кажется, что мы можем иметь совершенно непротиворечивую теорию, в которой формализмы PI и OF предсказывают разные результаты. Это верно? Я надеюсь, что кто-то может пролить свет на это.

РЕДАКТИРОВАТЬ

Я думаю, что может быть полезно добавить некоторые детали к тому, что я сказал о скобках Дирака, определяемых как

\begin{matrix} (11) & {а, б}_{Д Б} "=" {а, б}_{п Б} - {а, ℓ^{я}}_{п Б} М_{я Дж} {ℓ^{Дж}, б}_{п Б} \end{matrix}

$\{a,b\}_\mathrm{DB}=\{a,b\}_\mathrm{PB}-\{a,\ell^i\}_\mathrm{PB} M_{ij}\{\ell^j,b\}_\mathrm{PB}\tag{11}$ где

ℓ^{i}

$\ell^i$ ограничения и

M^{i j} = {ℓ^{i}, ℓ^{j}}_{P B}

$M^{ij}=\{\ell^i,\ell^j\}_\mathrm{PB}$ . Как

{q, p}_{P B} = δ (x - y)

$\{q,p\}_\mathrm{PB}=\delta(x-y)$ , единственный способ получить нетривиальные скобки Дирака — через второй член. Это может произойти, если у нас есть нелинейные ограничения, так что второй член является функцией

p, q

$p,q$ . Если в каком-то случае у нас есть нелинейные ограничения, матрица

M

$M$ будет зависеть от

p, q

$p,q$ и

{p, q}_{D B}

$\{p,q\}_\mathrm{DB}$ будет функцией

p, q

$p,q$ . Если мы переведем это в операторы, мы найдем

\begin{matrix} (12) & [π, ф] "=" дельта (Икс - у) \cdot 1_{ЧАС} + ф (π, ф) \end{matrix}

$[\pi,\phi]=\delta(x-y)\cdot1_\mathcal H+f(\pi,\phi)\tag{12}$ и так

[π, ϕ]

$[\pi,\phi]$ не будет ездить ни с тем, ни с другим

π

$\pi$ ни

ϕ

$\phi$ как того требует теорема Вика. (Этот термин

f

$f$ возможно, связано с

ℏ^{2}

$\hbar^2$ термины в ответе QMechanic и термины более высокого порядка, например, в скобке Мойала ).

СлучайныйПреобразование Фурье

Я знаю, что название не очень описательное, но это лучшее, что я мог придумать. Если кто-то придумает лучший, не стесняйтесь редактировать пост.

Qмеханик

Связанные : физика . _ _

Прахар

Поля

ϕ

$\phi$ которые входят в формализм интеграла по путям, должны быть каноническими координатами. Это вы можете увидеть, сопоставив способ, которым формализм интеграла по путям «выводится» из канонического формализма. Для всех таких полей

[ϕ, π]

$[\phi,\pi]$ всегда будет

c

$c$ -число.

Адам

Чтобы дополнить комментарий Прахара, если бы у вас не было канонического соотношения коммутации, интеграл по путям не был бы тем, который вы написали (при условии, что вы могли бы написать его, поскольку у вас не было бы стандартных операторов создания/уничтожения и когерентных состояний и т. д. на).

СлучайныйПреобразование Фурье

@Prahar спасибо за ваш комментарий. Насколько я знаю, канонические переменные в принципе могут иметь нетривиальные скобки Дирака. Если мы будем следовать рецепту Дирака «скобка Дирака

\to

$\to$ коммутатор», мы могли бы получить нетривиальный коммутатор, если исходная скобка Дриака была нетривиальной.

СлучайныйПреобразование Фурье

@adam Я могу ошибаться, но я считаю, что у нас могут быть операторы создания/уничтожения, коммутационные отношения которых более сложны, чем

[a, a^{†}] = 1

$[a,a^\dagger]=1$ (например, в физике твердого тела, где возбуждения могут иметь промежуточную статистику). Если это так, мы все еще можем определить интегралы по путям с помощью этих «обобщенных» лестничных операторов.

Прахар

@AccidentalFourierTransform - Да, это правда. Это происходит автоматически при интегрировании по ограниченным поверхностям. Я предположил простейший случай неограниченных переменных.

Адам

@AccidentalFourierTransform: я не говорил, что вы не можете обязательно написать интеграл по путям, я говорил, что вы не можете ;-) См. ссылки Qmechanic для некоторых контрпримеров. Хотя для всех, я не уверен, что вы можете определить правильные операторы создания/уничтожения (я могу ошибаться), поскольку они обычно создаются как составные сущности (например, заряд плюс поток).

Ответы (3)

Являются ли формализм интеграла по путям и формализм оператора неэквивалентными?

Я знаю, что название не очень описательное, но это лучшее, что я мог придумать. Если кто-то придумает лучший, не стесняйтесь редактировать пост.
Поля $\phi$ которые входят в формализм интеграла по путям, должны быть каноническими координатами. Это вы можете увидеть, сопоставив способ, которым формализм интеграла по путям «выводится» из канонического формализма. Для всех таких полей $[\phi,\pi]$ всегда будет $c$ -число.
Чтобы дополнить комментарий Прахара, если бы у вас не было канонического соотношения коммутации, интеграл по путям не был бы тем, который вы написали (при условии, что вы могли бы написать его, поскольку у вас не было бы стандартных операторов создания/уничтожения и когерентных состояний и т. д. на).
@Prahar спасибо за ваш комментарий. Насколько я знаю, канонические переменные в принципе могут иметь нетривиальные скобки Дирака. Если мы будем следовать рецепту Дирака «скобка Дирака $\to$ коммутатор», мы могли бы получить нетривиальный коммутатор, если исходная скобка Дриака была нетривиальной.
@adam Я могу ошибаться, но я считаю, что у нас могут быть операторы создания/уничтожения, коммутационные отношения которых более сложны, чем $[a,a^\dagger]=1$ (например, в физике твердого тела, где возбуждения могут иметь промежуточную статистику). Если это так, мы все еще можем определить интегралы по путям с помощью этих «обобщенных» лестничных операторов.
@AccidentalFourierTransform - Да, это правда. Это происходит автоматически при интегрировании по ограниченным поверхностям. Я предположил простейший случай неограниченных переменных.
@AccidentalFourierTransform: я не говорил, что вы не можете обязательно написать интеграл по путям, я говорил, что вы не можете ;-) См. ссылки Qmechanic для некоторых контрпримеров. Хотя для всех, я не уверен, что вы можете определить правильные операторы создания/уничтожения (я могу ошибаться), поскольку они обычно создаются как составные сущности (например, заряд плюс поток).

Qмеханик · Answer 1

Общие комментарии к вопросу (v1):

Любой хрестоматийный вывод соответствия между
$\begin{matrix} (1) & Операторный формализм ⟷ Формализм интеграла по путям \end{matrix}$ $\tag{1} \text{Operator formalism}\qquad \longleftrightarrow \qquad \text{Path integral formalism}$ является лишь формальным выводом, который отбрасывает вклады в процессе, ср. например , этот пост Phys.SE.
Вместо того, чтобы заявлять о полном понимании и существовании соответствия (1), вероятно, более справедливо будет сказать, что у нас есть длинный список теорий (таких, как, например, теории Янга-Миллса, Чернса-Саймонса и т. д.), в которых обе стороны соответствие (1) отработаны.
Соответствие (1) утопает в тонкостях. Пример: рассмотрим нерелятивистскую точечную частицу на искривленном целевом многообразии. $(M,g)$ с классическим гамильтонианом
$\begin{matrix} (2) & {ЧАС}_{с л} "=" \frac{1}{2} п_{я} п_{Дж} г^{я Дж} (Икс), \end{matrix}$ $\tag{2} H_{\rm cl} ~=~\frac{1}{2} p_i p_jg^{ij}(x),$ который мы используем в гамильтоновом действии интеграла по путям в фазовом пространстве. Тогда можно показать, что соответствующий оператор Гамильтона есть $\begin{matrix} (3) & \hat{ЧАС} "=" \frac{1}{2 \sqrt[4]{г}} {\hat{п}}_{я} \sqrt{г} г^{я Дж} {\hat{п}}_{Дж} \frac{1}{\sqrt[4]{г}} + \frac{ℏ^{2} р}{8} + О (ℏ^{3}), \end{matrix}$ $\tag{3}\hat{H}~=~ \frac{1}{2\sqrt[4]{g}} \hat{p}_i\sqrt{g}~ g^{ij} ~\hat{p}_j\frac{1}{\sqrt[4]{g}}+ \frac{\hbar^2R}{8} +{\cal O}(\hbar^3),$ ср. исх. 1 и 2. Первый член уравнения. (3) — наивная догадка, ср. мой ответ Phys.SE здесь . Двухпетлевая поправка, пропорциональная скалярной кривизне $R$ является неожиданностью, которая предвещает, что полное понимание соответствия (1) будет затруднено.

Использованная литература:

Ф. Бастианелли и П. ван Ньювенхуизен, Интегралы по траекториям и аномалии в искривленном пространстве, 2006 г.
Б. ДеВитт, Супермногообразия, Кембриджский унив. Пресс, 1992.

Тогда какая из теорий правильная, если обе они отличаются? Можем ли мы сказать, что интеграл по траекториям нельзя использовать для определения теории и что он должен быть выведен из операторного формализма?
Привет, Райдер. Руд: Это популярное мнение среди физиков.

СГХ · Answer 2

Краткий ответ на ваш вопрос: да. Нет никаких причин для того, чтобы интеграл по путям и операторный формализм были эквивалентны.

Простым примером являются все нелагранжевы теории. Мы знаем (некоторых) их через их операторную алгебру, но нет соответствующего лагранжиана. Это может показаться странным для большинства людей, таких как я не так давно, но это нетрудно понять. Лагранжианы определяются только через их классическое действие (предел $\hbar \to 0$ ,), что является ничем иным, как пределом слабой связи (я понял, что во многих книгах по КТП этот факт не упоминается). Если у вас есть теория, которая существует только в фиксированной точке с сильной связью, вы не можете построить лагранжиан. В качестве примера просто погуглите «нелагранжевы теории». В моем случае я получаю эту статью http://arxiv.org/abs/1505.05834 с очень хорошим введением.

Это просто ответ на заголовок.

Что касается основного корпуса, я думаю, вы запутались. Во-первых, вы должны понимать, что эквивалентность интеграла по траекториям и операторного формализма, которую вы видите в своем учебнике по КТП, не случайна, это построение. Так что нет, вы никогда не будете спамить другое гильбертово пространство, работая с двумя формализмами «одной и той же теории». Пункт (2) Qmechanic точен в этом смысле. Поскольку вы знаете, как сформулировать формализм PI для этих теорий, вы получите тот же ответ.

Во-вторых, вы утверждали, что LFH в (10) может отличаться. Правда в том, что не может. Причина проста: пропагатор просто перемещает состояние в пространстве-времени, он его не меняет, это по определению. Поэтому вы можете получить только $1_{\mathcal H}$ . Если вы когда-нибудь получите что-то другое, значит, вы смотрите не на тот объект как на распространителя.

Наконец, вы всегда должны быть осторожны, когда говорите об интеграле по траекториям чего бы то ни было: он полон тонких моментов. На самом деле, на сегодняшний день неизвестно, что такое КТП, поэтому вы также должны быть осторожны, говоря об операторном формализме чего бы то ни было!

Луис Кл Ботельо · Answer 3

Настоящую эквивалентность следует искать в евклидовой формулировке как для операторного подхода (теперь это алгебра коммутативных самосопряженных полевых операторов, так и для (теперь хорошо определенной как математический объект в схеме отсечки) евклидовой КТП Нельсона-Фейнмана-Каца-Швингера Интеграл по траекториям Ожидается, что реальная КТП Минковского будет получена путем аналитического продолжения на евклидово время (неупорядоченных по времени) n-точечных евклидовых КТП-функций Грина.

Являются ли формализм интеграла по путям и формализм оператора неэквивалентными?

СлучайныйПреобразование Фурье

Абстрактный

Формализм интеграла по путям

Операторный формализм

Несоответствие

СлучайныйПреобразование Фурье

Qмеханик

Прахар

Адам

СлучайныйПреобразование Фурье

СлучайныйПреобразование Фурье

Прахар

Адам

Ответы (3)

Qмеханик

Райдер Руд

Qмеханик

СГХ

Луис Кл Ботельо

Почему временной порядок (а не пространственный)?

Эквивалентность канонического квантования и квантования интеграла по путям

В каком смысле интеграл по траекториям является независимой формулировкой квантовой механики/теории поля?

Концептуальные вопросы формулировки интеграла по путям в КТП

Неправильное определение матричных элементов оператора в формализме интеграла по путям?

Какова связь между гильбертовым пространством и интегралами по траекториям?

Гамильтониан в путевом интеграле КМ/КТП является преобразованием Вигнера (символом Вейля)? оператора Гамильтона?

Интеграл по путям в QM против QFT

Почему подход интеграла по путям может страдать от проблемы порядка операторов?

Почему гамильтониан и лагранжиан взаимозаменяемы в расчетах возмущений КТП