Почему гамильтониан и лагранжиан взаимозаменяемы в расчетах возмущений КТП

Всякий раз, когда нужно вычислить корреляционные функции в КТП с использованием возмущений, мы сталкиваемся со следующим выражением:

⟨ 0 | с о м е   о п е р а т о р с × опыт ⁡ ( я С ( т ) ) | 0 ⟩

где в зависимости от учебника S равно (с точностью до знака)

  1. ∫ л г т где л является лагранжианом взаимодействия

    или

  2. − ∫ ЧАС г т где ЧАС есть гамильтониан взаимодействия.

Несложно доказать, что если у вас нет производных по времени в терминах взаимодействия, эти два выражения эквивалентны. Однако эти выражения получены с помощью разных подходов, и я не могу объяснить из первых принципов, почему (и когда) они дают один и тот же ответ.

Результат 1 исходит из подхода интеграла по путям, когда мы начинаем с лагранжиана и выполняем возмущение по отношению к действию, которое является интегралом лагранжиана. Грубо говоря, экспонента — это амплитуда вероятности траектории .

Результат 2 исходит из подхода, изложенного в КТП 101: исходя из уравнения Шредингера, мы предполагаем релятивистские обобщения (Дирак и Клейн-Гордон) и предполагаем коммутационные соотношения, которые будут использоваться для вторичного квантования. Далее переходим к обычной теории возмущений в картине взаимодействия. Грубо говоря, экспонента — это оператор эволюции во времени .

Почему и когда результаты совпадают? Почему и когда амплитуда вероятности из подхода интеграла по путям примерно совпадает с оператором временной эволюции?

Или еще раз повторю: почему точка зрения, где экспонента является амплитудой вероятности, и точка зрения, где экспонента является оператором эволюции, дают одинаковые результаты?

Знак меняется либо в 1, либо в 2.

Ответы (4)

От л "=" ЧАС 0 − В и ЧАС "=" ЧАС 0 + В видно, что (для достаточно простых теорий) лагранжево взаимодействие и гамильтоново взаимодействие отличаются только знаком.

при каких условиях теория должна считаться достаточно простой, чтобы обе формулировки были эквивалентны?
Я думаю, что вы переформулировали наивную причину, которую я уже приводил, почему все это работает. Однако я не понимаю, почему это верно из первых принципов. Извините за неконкретность комментария.
@Krastanov: для этого нет первых принципов. Для общего лагранжиана не вида л "=" Т − В , эквивалентность неверна.

Что ж, еще одна причина, по которой это может иметь место, заключается в том, что действие в обоих случаях одно и то же. Вы либо начинаете с действия С "=" ∫ л , или вы начинаете с так называемого действия гамильтониана в фазовом пространстве С "=" ∫ п д ˙ − ЧАС . Учитывая определение гамильтониана, должно быть ясно, что эти два выражения формально идентичны, если у вас есть обратимое отображение из множества ( п , д ) → ( д , д ˙ ) . Поскольку термины взаимодействия обычно не включают производные по времени от переменных конфигурации (хотя есть и исключения), неудивительно, что часть формализма, которая включает только взаимодействия, формально будет почти идентичной.

Я не понимаю, что нужно начинать с "фазового космического действия". Я не думаю, что когда-либо делал что-то подобное (я новичок.).
@Krastanov: Начните с «действия в фазовом пространстве», которое я изложил выше, и измените его в зависимости от п и д . В результате вы получите уравнения движения Гамильтона. Это просто симпатичный способ сделать гамильтоновский формализм более похожим на «принцип наименьшего действия».

Исходя из гамильтоновой формулировки КМ, можно вывести формализм интеграла по траекториям (см. главу 9 в КТП Вайнберга, том 1), в котором гамильтоново действие оказывается пропорциональным ∫ г т ( п в − ЧАС ) .

Для подкласса теорий с «квадратичным по импульсам гамильтонианом» (см. Раздел «9.3 Лагранжева версия формулы интеграла по траекториям» в приведенном выше учебнике) термин ( п в − ЧАС ) можно преобразовать в лагранжиан л ЧАС "=" ( п в − ЧАС ) . Тогда лагранжево действие пропорционально ∫ г т л ЧАС . Оба действия дают одинаковые результаты, потому что одно точно эквивалентно другому (и является производным от него) .

∫ г т ( п в − ЧАС ) "=" ∫ г т л ЧАС

Более того, при работе в представлении взаимодействия вы используете не полный гамильтониан, а только взаимодействие. Вывод гамильтониана действия такой же, за исключением того, что теперь полный гамильтониан заменен гамильтонианом взаимодействия В . Опять же, у вас есть две эквивалентные формы записи действия либо в гамильтоновой, либо в лагранжевой форме.

Если рассматривать гамильтонианы, взаимодействие которых В не зависит от импульсов, то п в член исчезает, и указанная выше эквивалентность между действиями сводится к

− ∫ г т В "=" ∫ г т л В

где, очевидно, лагранжиан взаимодействия равен л В "=" − В

Это то, что происходит, например, в КЭД, где взаимодействие В зависит как от позиции, так и от Дирака α а не по импульсам.

Примечание: в вашем сообщении есть ошибка со знаком. Я не могу редактировать, потому что меньше 10 символов, и я заметил ошибку в комментарии к вам выше, но она остается.

Разве экспонента в форме 1) тоже не оператор? Тогда это на самом деле не амплитуда вероятности траектории, как вы утверждаете. Обе формы, по-видимому, имеют одно и то же происхождение, а именно формализм Гамильтона, и обе экспоненты имеют статус оператора временной эволюции в картине взаимодействия. В подходе интеграла по путям выражение было бы формально совсем другим зверем:

⟨ 0 | некоторые операторы е я С [ ф ^ ] | 0 ⟩ "=" ∫ Д ф некоторые функции (поля) е я С [ ф ] ,
где теперь экспонента в правой части представляет собой c-число, которое действительно можно интерпретировать как амплитуду конфигурации поля. ф ( Икс ) . Интеграл представляет собой сумму по всем таким взвешенным конфигурациям поля.

Если вы хотите быстро понять, почему это должно совпадать с вашим выражением, помните, что основное состояние | 0 ⟩ не является собственным состоянием оператора эволюции или полевых операторов вообще. Однако его можно разложить как сумму собственных состояний поля (когерентных состояний). Сразу видно, что разложение даст сумму вкладов с-чисел, которые также представляют собой конфигурации поля, взвешенные экспоненциальной функцией. Если вы действительно хотите сделать это правильно, вам придется сделать некоторые другие вещи, такие как дискретизация пространства-времени и вставка полных наборов собственных состояний поля в каждой точке. Это рассматривается в большинстве текстов по теории поля, например, в Peskin & Schroeder или Altland & Simons.

спасибо за исправления, однако они не меняют моего вопроса: почему точка зрения, где экспонента является амплитудой вероятности, и точка зрения, где экспонента является оператором эволюции, дают одинаковые результаты?
Что ж, если вы действительно хотите понять, почему они дают одинаковые результаты, вам нужно просто пройти через вывод, как и во всем остальном в математической физике. Я пытался сказать, что обе экспоненты в конечном счете представляют собой амплитуды, взвешивающие возможные конфигурации полей. Чтобы рассчитать вероятности перехода, ожидаемые значения или что-то еще, вы всегда суммируете амплитуды неразличимых путей между начальным и конечным состояниями.
(продолжение) В формализме интеграла по путям эта сумма является явной, и мы обычно говорим о преобладающем вкладе, исходящем от классического стационарного пути дельта С / дельта ф "=" 0 , с квантовыми флуктуациями вокруг стационарной траектории, подавленными фактором е я С / ℏ . В гамильтоновом формализме сумма как бы «спрятана» внутри операторов и появляется потому, что ненулевые коммутационные отношения между операторами означают, что интересные состояния (например, основное состояние, собственные состояния числа частиц...) не будут собственными состояниями оператора. взаимодействие гамильтониан/лагранжиан.
(продолжение) Таким образом, в операторном формализме именно коммутационные соотношения подразумевают флуктуации. Но физический смысл тот же. Мне нравится думать об операторах как об алгебраических бухгалтерских устройствах, которые воспроизводят результаты формализма интеграла по путям. Но все это ужасно расплывчато и неточно и, вероятно, вызовет раздражение у кого-нибудь из других пользователей этого сайта, у которых есть иное личное понимание значения формализма. Если вы хотите понять для себя, вам действительно нужно пройти через вывод от одного формализма к другому, скажем, в одной из ссылок, которые я дал.
Почему гамильтониан и лагранжиан взаимозаменяемы в расчетах возмущений КТП
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v