Почему эволюция воображаемого времени неунитарна?

Если$H$тогда эрмитов$U=e^{-itH}$унитарно тогда и только тогда, когда$t$реально. Делаем замену переменных$t=i\tau$это не изменит. Дело в том, что когда вы делаете поворот Вика в мнимое время, вы не делаете простую замену переменных — замена переменных в конце концов не может повлиять на физику.

Основным местом, где возникает мнимая величина времени, является матрица тепловой плотности

$$\rho = \frac{e^{-\beta H}}{Z}$$ с$\beta=1/(k_BT)$обратная температура, которая для того, чтобы иметь физический смысл, должна быть реальной. Это то же самое, что$U$на воображаемое время$t=-i\beta$. Этого должно быть достаточно, чтобы убедить вас в том, что в подавляющем большинстве случаев, когда говорят о мнимом времени, действительно считают время мнимым, а не чисто реальным, как это необходимо для$U$быть унитарным.

В контексте, часто встречающемся в курсах QFT, интересуются величинами, зависящими от времени, здесь вращение Вика менее физическое и больше похоже на математический трюк — вы решаете, что наблюдаемые$O(t)$запрошенные трудно вычислить вдоль реальной линии и вместо этого вычислить их вдоль воображаемой оси$O(it)$и надеемся, что полученные формулы аналитически продолжимы на всю комплексную плоскость.

Если$\hat H$эрмитов, то$U(t)=e^{i \hat H t}$является унитарным для$t\in \mathbb{R}$потому что

$$\begin{align} U^\dagger(t)=\left(U^*(t)\right)^\top=e^{-i \hat H^\dagger t}= e^{-i \hat H t}=U(-t)=U^{-1}\, . \end{align}$$

Если$\tau\in \mathbb{R}$затем$e^{\hat H\tau}$не является унитарным, потому что$\left(e^{\hat H \tau}\right)^\dagger = e^{\hat H \tau} \ne \left(e^{\hat H \tau}\right)^{-1}$.

$e^{-iHt}$является унитарным по-настоящему$t$. Говоря это$\tau=it$не меняет этого. Это потому, что если$t$реально тогда$\tau$является чисто воображаемым.

$e^{-iHt}$не является унитарным для чисто мнимого$t$. Говоря это$\tau=it$не меняет этого. Это потому, что если$t$является мнимым тогда$\tau$реально.