Косет-пространство и транзитивность

Я не уверен, что я просто повторяю ваш вопрос, поэтому поправьте меня, если я прав.

Мой ответ в основном заключается в том, что любое вращение в$SO(n+1)$можно записать как вращение, которое перемещает северный полюс$S^n$в какую-то новую точку$S^n$, а затем вращение вокруг этой новой точки. Вращения вокруг новой точки просто формируются$SO(n)$, так$S^n$это то, что вы получаете, когда берете$SO(n+1)$, и вы говорите, что вам важно только конечное положение северного полюса, а не вращение вокруг этого конечного положения.

Посмотрите на действия$SO(n+1)$на сфере$S^n$встроенный в$\mathbb{R}^{n+1}$. Возьмем северный полюс$p \in S^n$и посмотрите на орбиту$p$под действием$SO(n+1)$. Поскольку действие транзитивно, мы знаем, что орбита — это вся$S^n$. Итак, в вашем примере с двумя сферами это утверждение становится тем, что северный полюс$p$можно перевести в любую точку двумерной сферы вращением.

Теперь рассмотрим стабилизатор$p$. Стабилизатор — это просто вращения, которые удерживают$p$зафиксированный. Это вращения в гиперплоскости, ортогональной$p$. Другими словами, стабилизатор$p$является$SO(n)$.

Теперь рассмотрим смежный класс$rSO(n)$, были$r \in SO(n+1)$. Рассмотрим действие элементов этого множества на северном полюсе. Поскольку северный полюс инвариантен относительно$SO(n)$, набор$rSO(n)p$это просто набор$\{rp\}$. Поскольку действие транзитивно, мы знаем, что смежные классы отображаются на$S^n$. С другой стороны, если у нас есть два разных смежных класса,$r_aSO(n)$и$r_bSO(n)$, которые сопоставляются с той же точкой на$S^n$, затем$r_ap = r_bp$так что$r_a^{-1}r_bp=p$и так$r_a^{-1}r_b \in SO(n)$, но потом$r_aSO(n) = r_ar_a^{-1}r_bSO(n) = er_bSO(n) = r_bSO(n)$, так что два смежных класса в конце концов не отличаются. Таким образом, существует биекция между смежными классами$SO(n+1) / SO(n)$и сфера$S^n$.

Вы можете представить себе элемент$SO(n+1)$коллекция$(n+1)$упорядоченные ортонормированные векторы$(v_1, \ldots, v_{n+1})$. В таком случае имеем, что$SO(n)$помещается внутри$SO(n+1)$путем выбора фиксированного вектора$v \in S^n$, и выбирая$n$ортонормированные векторы в ортогональном дополнении к прямой, натянутой на$v$.

Тогда нетрудно представить, что смежные классы находятся в биекции с начальным выбором$v$, т. е. смежное пространство точно$S^n$.