Хороший вопрос. Я попытаюсь ответить на него с нескольких точек зрения, начиная с самой простой (но самой сложной) и переходя к более сложной (но строгой).

Более простое аналогичное пространство

Вы, наверное, уже знаете, что можете нанести на карту сферу$S^2$со сферическими координатами $(\theta, \phi)$- в основном широта и долгота. Но это плохие координаты сферы; вы получаете сингулярности на северном и южном полюсах. Что ж, оказывается,$\theta$и$\phi$на самом деле хорошие координаты для цилиндра:$\theta \in [0, \pi]$это просто высота в цилиндре, и$\phi \in [0, 2\pi)$это угол вокруг цилиндра. Но тогда вы должны сопоставить этот цилиндр со сферой. И чтобы сделать это, вам в основном нужно зажать верх и низ цилиндра до точек (северный и южный полюса).

Теперь, сделав шаг назад, мы видим, что это похоже на вашу ситуацию. Представьте, что мы задаемся вопросом, почему$S^1 \times S^1$не то же самое, что$S^2$. ну можно карту$S^1 \times S^1$на$S^2$следующее.$S^1 \times S^1$является тором. Вдавите стенки тора друг в друга, пока не получите цилиндр. Затем зажмите верх и низ цилиндра до кончиков.

Но вы должны чувствовать, что сделали что-то необратимое здесь. Все эти операции сжатия и сжатия на самом деле изменяют структуру пространства, с которым вы имеете дело.

(Как отмечает Селена в комментариях, то, что мы сделали здесь, известно как приостановка в топологии, где это один из классических способов сформировать новое топологическое пространство из более простого. И эта идея сжатия/сжатия/ раздавливание известно как взятие частного .)

Интуитивный аргумент

Ваша интуиция о том, что существуют «ограничения» для$SO(3)$верно. Чтобы быть более точным, вы действительно можете добраться до$SO(3)$от$S^1 \times S^1 \times S^1$, но только путем «идентификации» множества точек в последнем. Под «идентификацией» мы подразумеваем сделать две точки одной и той же точкой.

Первый шаг – принять участие в одном из ваших кругов.$S^1$и определить точки друг напротив друга, чтобы дать вам просто интервал $I$. Возможно, я не буду объяснять это завещание, но это простая операция, которую вы можете легко себе представить. Просто возьмите круг на плоскости, а затем сожмите его стороны так, чтобы$x$координата становится равной нулю (сдавливает его стороны).

Теперь у вас есть пространство углов Эйлера . Эта операция сжатия делает среднюю операцию$\beta$только диапазон в$[0, \pi]$, в отличие от двух других углов, которые на самом деле представляют собой окружности с координатами в$[0, 2\pi)$. Но мы знаем, что углы Эйлера — плохие координаты для$SO(3)$. В частности, у нас есть карданный замок . Итак, чтобы добраться до фактического пространства$SO(3)$, нужно смотреть на те координатные особенности, которые находятся на концах вашего интервала$I$. Каждый конец выглядит как$S^1 \times S^1$. Но они действительно просто$S^1$, поэтому их тоже нужно свернуть.

Опять же, все эти отождествления необратимы, так что вы действительно меняете топологию своего пространства. В принципе, вы можете нанести на карту$(S^1)^3$на$SO(3)$, но не в приятной взаимно-однозначной форме; Вы действительно изменили пространство.

Чисто математический взгляд

С формальной точки зрения вы можете довольно легко доказать, что это разные пространства, взглянув либо на их групповые свойства (как указывает ACuriousMind), либо на их топологические свойства.

Теория групп

Прямой продукт групп определяется довольно просто, как декартово произведение двух множеств, но затем определите групповой продукт как исходные групповые продукты, действующие сами по себе. Так как группа круга$U(1)$(это то, что вы действительно имели в виду под$S^1$) коммутативна, группа$U(1) \times U(1)$также коммутативно, и, следовательно, все это$U(1) \times U(1) \times U(1)$является коммутативным. Но вы, вероятно, также знаете, что$SO(3)$не является коммутативным.

Топология

Вы также можете увидеть, что эти точки различны, взглянув на их основные группы . У нас есть$\pi_1(S^1) \approx \mathbb{Z}$, а из свойства произведения фундаментальных групп это означает$\pi_1(S^1 \times S^1 \times S^1) \approx \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \approx \mathbb{Z}^3$. Кроме того, поскольку реальное проективное пространство $\mathbf{RP}^3$топологически такой же, как$SO(3)$, у нас есть $\pi_1(SO(3)) \approx \pi_1(\mathbf{RP}^3) \approx \mathbb{Z}_2$, которая является циклической группой всего из двух элементов. Поскольку фундаментальная группа является топологическим инвариантом, это доказывает, что два пространства топологически различны.

Каждая группа кругов$S_1$это ротация в$\mathbb R^2$. Поскольку повороты в плоскостях xy, xz и yz генерируют SO(3), можно подумать, что если получить одну копию для каждого из этих поворотов плоскости, это приведет к SO(3). Однако в SO(3) важен порядок генерирующих вращений, а в$S_1^3$вы не определяете точный порядок вращения.

Вы просто говорите: «Повернуть по осям xy, xz и yz».

в то время как в SO (3) вы говорите, например: «Повернуть в xy, затем в новой плоскости xz , затем в новой плоскости yz»

изменение порядка изменит результат.

Группа, порожденная некоторыми своими подгруппами, даже имея тривиальные пересечения (чего нет в вашем примере), не позволяет делать очень общие выводы о структуре ее произведения, если не учитывать их коммутационные соотношения.

Простейшим примером является группа симметрий равностороннего треугольника: она порождается подгруппой$S$отражений относительно одной фиксированной оси симметрии, а подгруппа$R$вращений. Однако он не изоморфен$S\times R$, произведение двух циклических групп, в чем легко убедиться, поскольку нетривиальное отражение и нетривиальное вращение не коммутируют.

Это теорема, что группа, порожденная коммутирующими подгруппами с тривиальным пересечением, является прямым произведением. Когда подгруппы не коммутируют, это можно до некоторой степени обобщить на полупрямые произведения.