Спинор каким-то образом связан с пространством?

Я не совсем уверен, что задает вопрос OP (v4), но вот несколько комментариев:

I) Трюк с поясом Дирака демонстрирует, что группа Ли$SO(3)$трехмерных вращений является двусвязным,

_{(источник: naukas.com )}

II) Что касается заглавного вопроса , связаны ли как-то спиноры с пространством-временем? один ответ может быть: да, в том смысле, что простое существование спиноров накладывает топологические ограничения на возможное пространство-время. В частности, существование глобально определенного (Вейля) спинора на (пространственно-временном) многообразии$M$имеет следующие топологические последствия для$M$:

1. (пространственно-временное) многообразие$M$должен быть ориентируемым , т.е. 1-й класс Штифеля-Уитни $w_1(M)\in H^1(M,\mathbb{Z}_2)$должен исчезнуть.

2. 2-й класс Стифеля-Уитни$w_2(M)\in H^2(M,\mathbb{Z}_2)$также должно исчезнуть, см. например википедия .

С таким же успехом вы могли бы спросить: «Как физический пояс в трюке Дирака определяет топологию?» Этот вопрос, если подумать, не менее загадочен, чем ваш. Экспериментальный ответ заключается в том, что это просто так.

И в конечном счете, если что-то преобразуется «совместимо» с группой Лоренца или с$SO(3)$, то на самом деле можно задать только однобитный вопрос: говорим ли мы о представлении исходной группы ( т.е. $SO(3)$или$SO^+(1,\,3)$) или его двойное покрытие ($SU(2)$или$SL(2,\,\mathbb{C})$)? Других вариантов нет (как вы, наверное, знаете). Вопрос почти такой же для электрона или дираковской ленты.

Пояс Дирака — это всего лишь физическая аналогия — хотя и довольно хорошая — гомотопического класса для$C^1$путь через$SO(3)$привязка личности к заданному$\gamma\in SO(3)$. Если вы идеализируете физический пояс до набора математических идеализаций, которые интуитивно кажутся довольно разумными ( то есть в соответствии с нашей экспериментальной интуицией, почерпнутой из игры с лентами и поясами Дирака), тогда да, аналогия становится точной, как я обсуждаю в примере 14.23 из моя статья «Гомотопия групп Ли и глобальная топология» на моем сайте.

Но тогда ваш вопрос равносилен вопросу, почему реальный физический объект (пояс Дирака) ведет себя так, как описывается математическими идеализациями, о которых я говорю в своей статье. Ответ просто полностью экспериментальный , а именно: это просто экспериментальная индукция! Вы не можете копать глубже, чем это.

Теперь вы могли бы задать несколько похожий вопрос в духе: «Можем ли мы сказать, что спиноры ведут себя так, как если бы они были связаны маленькими ленточками с пространством-временем, только в том смысле, что они математически аналогичны математической идеализации пояса Дирака, который, например , I обсуждать?" тогда ответ конечно да. Но это неуловимо, но несомненно отличается от вашего вопроса.

Тогда вы можете сказать, что любой экспериментально спинориальный объект: электрон, любой спин$\frac{1}{2}$экспериментально видно, что частица или даже лента Дирака каким-то образом сохраняют «отпечаток» того, как они были повернуты (зависимость от пути / память). Вещи, сохраняющие этот отпечаток ( т . е . напоминающие гомотопический класс), по определению экспериментально аналогичны элементу универсального покрытия$SO(3)$или$SO^+(1,\,3)$.