Нетривиальная фаза для проективного представления SO (3) SO (3) SO (3)? Простая связность и ее связь с коциклом

Если я правильно понимаю, то это в свою очередь подразумевает, что все фазы$\Phi(g_1,g_2)$из$SO(3)$представление не удовлетворяет соотношению (2) и, следовательно, не может быть сведено к обычному представлению путем определения чего-то вроде (3).

Отсюда следует, что для этого проективного представления$SO(3)$, вы не можете найти функцию$\alpha$так что (2) выполняется для всех$g_1, g_2$.

Можем ли мы записать фазу$\Phi(g_1,g_2)$для проективного$SO(3)$представление, т. е. как функция$g_1$и$g_2$(любые два$SO(3)$групповые элементы)?

Конечно, если вы знаете проективное представление (явно), вы можете прочитать фазу. Возьмем, к примеру, спинорное представление$SO(3)$. Позволять$R_\pi$быть поворотом на 180 градусов,$R_\pi R_\pi = 1$. Как мы знаем,

Какова связь между односвязностью группы и фазой?$\Phi(g_1,g_2)$. В частности, какова связь между путями в групповом многообразии и фазами$\Phi(g_1,g_2)$.

Во-первых, позвольте мне изложить полную версию теоремы, которую вы цитировали в своем вопросе: нетривиальные проективные представления могут возникать ровно двумя способами.

1. Алгебраически, если центральный заряд алгебры Ли нельзя удалить. (Я не буду вдаваться в это дальше).
2. Геометрически, если группа не односвязна.

Другими словами, если центральную зарядку можно убрать , а группу просто соединить, то все возможные фазы$\Phi(g_1,g_2)$находятся в тривиальном двухкоцикле.

И чтобы ответить на ваш вопрос, мы можем уточнить утверждение: если центральный заряд можно удалить, то множество возможных фаз (вплоть до тривиальных двухкоциклов) равно фундаментальной группе группы Ли.

Почему если два пути непрерывно деформируются друг в друга или замкнутые петли могут непрерывно сжиматься в точку , то$\Phi$всегда удовлетворяет (2), а если нет,$\Phi$может не удовлетворить (2)? Если возможно, пожалуйста, не используйте слишком много технических жаргонов, потому что я только начал изучать эти вещи самостоятельно.

Вайнберг («Квантовая теория полей», том 1) посвящает этому доказательству целую главу (2, приложение B). В конце концов она сводится к лемме Пуанкаре: в односвязном пространстве, если векторное поле$v$удовлетворяет$\partial_b v_a = \partial_a v_b$, то его можно записать в виде градиента некоторого потенциала:$v_a = \partial_a \varphi$. При подходящем выборе (см. Вайнберг)$v$, это позволяет нам доказать утверждение.

1. Если вы представляете повороты как углы Эйлера$(\alpha,\beta,\gamma)$, фаза$\phi$это функция, которая дает$1$пока (наивная) композиция двух вращений не превышает$2\pi$под любым углом и$-1$для каждого угла, превышающего$2\pi$. Обратите внимание, что это явно разрывная функция.

2. Я обсуждаю это в последнем разделе этого моего ответа . Итог в том, что если$G$не односвязна, она имеет универсальную накрывающую группу$\tilde{G}$который является центральным продолжением$G$к$\pi_1(G)$. Унитарные представительства$\tilde{\rho} : \tilde{G}\to \mathrm{U}(\mathcal{H})$центральных расширений всегда спускаются к проективным представлениям$\rho : G\to\mathrm{PU}(\mathcal{H})$исходной группы, так как центральная часть должна быть отображена в центр$\mathrm{U}(1)\subset\mathrm{U}(\mathcal{H})$, и поэтому становится тривиальным при переходе к фактору$\mathrm{PU}(\mathcal{H})$, так как все прообразы$\pi^{-1}(g)$элемента$g\in G$под проекцией$\pi:\tilde{G}\to G$сопоставить с той же точкой в$\mathrm{PU}(\mathcal{H})$, так$\rho = \tilde{\rho}\circ\pi^{-1}$хорошо определен.

3. На самом деле это имеет отношение не к путям как таковым, а к общей теории покрытий . Достаточно хорошее топологическое пространство$G$всегда имеет универсальное покрытие$\tilde{G}$который находится в точной последовательности$\pi_1(G)\to \tilde{G} \to G$, если$G$группа Ли,$\pi_1(G)$абелев и его образ центральный в$\tilde{G}$, поэтому универсальное покрытие является центральным расширением. Наоборот, при наличии центрального расширения$\mathbb{Z}_n\to\tilde{G}\to G$, у нас есть это$\tilde{G}\to G$является покрытием, и общая классификация покрытий говорит, что такие покрытия находятся в биекции с подгруппами из$\pi_1(G)$. Так что если$G$односвязна, она не имеет таких дискретных центральных расширений, а если нет, то существует универсальное накрытие, линейные представления которого такие же, как$G$, если нет гладких центральных расширений с помощью$\mathrm{U}(1)$(т.е. нет непрерывных нетривиальных коциклов).

   Обратите внимание, что утверждение, которое вы запрашиваете, т.е. «Если$G$односвязна, то$\phi$является тривиальным (удовлетворяет вашему уравнению 2)» ложно: даже односвязные группы могут иметь нетривиальные коциклы (эквивалентно нетривиальные центральные расширения), они просто не могут иметь дискретных центральных расширений или эквивалентных разрывных коциклов . Однако физика литература обычно игнорирует это до тех пор, пока это не становится актуальным (например, для алгебры/группы Вирасоро), поскольку полупростые группы Ли, с которыми мы обычно имеем дело, имеют$H^2(G,\mathrm{U}(1)) = 0$для группы гладких коциклов по модулю кограничных отношений по второй лемме Уайтхеда.