Разница между алгеброй бесконечно малых конформных преобразований и конформной алгеброй

Позволять

$$\begin{align} \overline{\mathbb{R}^{p,q}}~~:=&~~\left\{y\in \mathbb{R}^{p+1,q+1}\backslash\{0\}\mid \eta^{p+1,q+1}(y,y)=0\right\}/\mathbb{R}^{\times} \cr ~~\subseteq &~~ \mathbb{P}_{p+q+1}(\mathbb{R})~~\equiv~~(\mathbb{R}^{p+1,q+1}\backslash\{0\})/\mathbb{R}^{\times}, \cr &\mathbb{R}^{\times}~~\equiv~~\mathbb{R}\backslash\{0\}, \end{align}\tag{1}$$ обозначают конформную компактификацию$\mathbb{R}^{p,q}$. Топологически, $$\overline{\mathbb{R}^{p,q}}~\cong~(\mathbb{S}^p\times \mathbb{S}^q)/\mathbb{Z}_2 .\tag{2}$$ The $\mathbb{Z}_2$-действие в экв. (2) идентифицирует точки, связанные посредством одновременной замены антиподов на пространственной и временной сферах. Вложение$\imath: \mathbb{R}^{p,q}\hookrightarrow \overline{\mathbb{R}^{p,q}}$дан кем-то $$\imath(x)~:=~\left(1-\eta^{p,q}(x,x): ~2x:~ 1+\eta^{p,q}(x,x)\right). \tag{3}$$ Позволять$n:=p+q$. [Если$n=1$, то любое преобразование автоматически является конформным преобразованием , поэтому предположим$n\geq 2$. Если$p=0$или$q=0$тогда конформная компактификация$\overline{\mathbb{R}^{p,q}}~\cong~\mathbb{S}^n$является$n$-сфера.]

1. С одной стороны, существует (глобальная) конформная группа

   $${\rm Conf}(p,q)~\cong~O(p\!+\!1,q\!+\!1)/\{\pm {\bf 1} \}\tag{4}$$ состоящее из множества глобально определенных конформных преобразований на$\overline{\mathbb{R}^{p,q}}$. Это$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$размерная группа Ли. Частные в уравнениях. (2) и (4) — остатки проективного пространства (1).

   Связный компонент, содержащий элемент идентичности,

   $${\rm Conf}_0(p,q)~\cong~\left\{\begin{array}{ll} SO^+(p\!+\!1,q\!+\!1)/\{\pm {\bf 1} \} &\text{if both $p$ and $q$ are odd},\cr SO^+(p\!+\!1,q\!+\!1) &\text{if $p$ or $q$ are even}.\end{array}\right.\tag{5}$$ Два случая в ур. (5) соответствуют ли$-{\bf 1}\in SO^+(p\!+\!1,q\!+\!1)$или нет соответственно. Глобальная конформная группа${\rm Conf}(p,q)$имеет 4 компоненты связности, если оба$p$и$q$нечетны, и 2 компонента связности, если$p$или$q$даже. ( Глобальная ) конформная алгебра $${\rm conf}(p,q)~\cong~so(p\!+\!1,q\!+\!1)\tag{6}$$ является соответствующим$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$размерная алгебра Ли. По размерности алгебра Ли разбивается на$n$переводы,$\frac{n(n-1)}{2}$вращения,$1$дилатация и$n$специальные конформные преобразования.

2. С другой стороны, существует локальный конформный группоид

   $${\rm LocConf}(p,q)~=~\underbrace{{\rm LocConf}_+(p,q)}_{\text{orientation-preserving}} ~\cup~ \underbrace{{\rm LocConf}_-(p,q)}_{\text{orientation-reversing}} \tag{7}$$ состоящее из локально определенных конформных преобразований. Обозначим связную компоненту, содержащую единичный элемент $${\rm LocConf}_0(p,q)~\subseteq~{\rm LocConf}_+(p,q). \tag{8}$$ Локальный конформный алгеброид $${\rm locconf}(p,q)~=~{\rm LocConfKillVect}(\overline{\mathbb{R}^{p,q}})\tag{9}$$ состоит из локально определенных конформных векторных полей Киллинга , т. е. генераторов конформных преобразований.

   • За$n\geq 3$, (псевдориманово обобщение) теоремы Лиувилля о жесткости утверждает, что все локальные конформные преобразования могут быть расширены до глобальных конформных преобразований, ср . например , это и это сообщения Phys.SE. Таким образом, локальные конформные преобразования интересны только для$n=2$.

   • Для 1+1D плоскости Минковского мы рассматриваем координаты светового конуса$x^{\pm}\in \mathbb{S}$, ср. например , этот пост Phys.SE. Локально определенные конформные преобразования, сохраняющие ориентацию, являются произведениями 2-х монотонно возрастающих (убывающих) диффеоморфизмов на окружности$\mathbb{S}^1$

     $$\begin{align} {\rm LocConf}_+(1,1)~=~& {\rm LocDiff}^+(\mathbb{S}^1)~\times~ {\rm LocDiff}^+(\mathbb{S}^1) \cr &~\cup~ {\rm LocDiff}^-(\mathbb{S}^1)~\times~ {\rm LocDiff}^-(\mathbb{S}^1),\cr {\rm LocConf}_0(1,1)~=~& {\rm LocDiff}^+(\mathbb{S}^1)~\times~ {\rm LocDiff}^+(\mathbb{S}^1).\end{align}\tag{10}$$ Преобразование, изменяющее ориентацию, — это просто преобразование, сохраняющее ориентацию, составленное с картой.$(x^+,x^-)\mapsto (x^-,x^+)$. Соответствующая локальная конформная алгебра $${\rm locconf}(1,1)~=~{\rm Vect}(\mathbb{S}^1)\oplus {\rm Vect}(\mathbb{S}^1) \tag{11}$$ становится двумя копиями реальной алгебры Витта , которая является бесконечномерной алгеброй Ли.

   • Для двумерной евклидовой плоскости$\mathbb{R}^{2}\cong \mathbb{C}$, когда мы определяем$z=x+iy$и$\bar{z}=x-iy$, то локально определенные сохраняющие ориентацию (обращающие ориентацию) конформные преобразования являются непостоянными голоморфными (антиголоморфными) отображениями на сфере Римана $\mathbb{S}^2=\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$

     $$\begin{align} {\rm LocConf}_0(2,0)~=~&{\rm LocConf}_+(2,0)\cr ~=~&{\rm LocHol}(\mathbb{S}^2), \cr\cr {\rm LocConf}_-(2,0)~=~&\overline{{\rm LocHol}(\mathbb{S}^2)} ,\end{align}\tag{12}$$ соответственно. Антиголоморфная карта - это просто голоморфная карта, составленная с комплексным сопряжением$z\mapsto\bar{z}$. Соответствующий локальный конформный алгеброид $${\rm locconf}(2,0)~=~{\rm LocHolVect}(\mathbb{S}^2)\tag{13}$$ состоит из образующих локально определенных голоморфных (без антиголоморфных!) отображений на$\mathbb{S}^2$. Он содержит комплексную алгебру Витта.

Использованная литература:

1. М. Шоттенлохер, Math Intro to CFT, Lecture Notes in Physics 759, 2008; Глава 1 и 2.

2. Р. Блюменхаген и Э. Плаушинн, Введение в CFT, Lecture Notes in Physics 779, 2009; Раздел 2.1.

3. П. Гинспарг, Прикладная конформная теория поля, arXiv:hep-th/9108028 ; Глава 1 и 2.

4. Дж. Словак, Естественный оператор на конформных многообразиях, докторская диссертация, 1993; стр.46. Файл PS доступен здесь на домашней странице автора. (Подсказка: Вит Тучек .)

5. А. Н. Шеллекенс, Конспект лекций CFT , 2016.