Топологическое/геометрическое обоснование того, что CFT2CFT2\text{CFT}_2 является особым

По сути, это теорема Лиувилля о жесткости для конформных отображений в$\color{red}{n\geq 3}$размеры. Интересно, что причиной является локальная жесткость [а не глобальные топологические препятствия]. Доказательство см. в работах. 1 и 2.

В сочетании с тем, что каждое отображение в$\color{red}{n=1}$размерность автоматически конформна, возможно, неудивительно, что граничный случай$\color{red}{n=2}$особенный. На самом деле существует бесконечно много (размерностей) локальных конформных деформаций для$\color{red}{1\leq n\leq 2}$.

Основным моментом является следующая лемма.

Лемма. В координатной окрестности, где метрика$g_{\mu\nu}$постоянна, компоненты$\varepsilon^{\mu}$каждого конформного векторного поля Киллинга (CKVF) является не более чем квадратичным многочленом в координатах$x^{\nu}$[т.е. существует только конечное число (размеров) локальных конформных деформаций], если$\color{red}{n\geq 3}$.

Доказательство: конформное уравнение Киллинга (CKE):

$$\omega g_{\mu\nu}~=~\varepsilon_{\mu,\nu}+\varepsilon_{\nu,\mu} .\tag{1}$$

$$n \omega~\stackrel{(1)}{=}~ 2\varepsilon^{\mu}{}_{,\mu}.\tag{2}$$

$$(\color{red}{2-n})\partial_{\mu}\omega ~\stackrel{(1)+(2)}{=}~ 2\Box \varepsilon_{\mu}.\tag{3}$$

$$(\color{red}{2-n})\partial_{\mu}\partial_{\nu}\omega ~\stackrel{(3)}{=}~ 2\Box\partial_{\mu} \varepsilon_{\nu} .\tag{4}$$

$$(\color{red}{n-1})\Box \omega~\stackrel{(2)+(4)}{=}~0 \quad \stackrel{\color{red}{n\neq 1}}{\Rightarrow} \quad \Box \omega~=~0.\tag{5}$$

$$~(\color{red}{2-n})\partial_{\mu}\partial_{\nu}\omega~\stackrel{(1)+(4)}{=}~g_{\mu\nu} \Box \omega~\stackrel{(5)}{=}~0\quad \stackrel{\color{red}{n\neq 2}}{\Rightarrow} \quad \partial_{\mu}\partial_{\nu}\omega~=~0.\tag{6}$$

уравнение (6) показывает, что

$$\omega~=~a_{\mu}x^{\mu}+b\tag{7}$$

является аффинной функцией$^1$из$x^{\mu}$.

$$\varepsilon_{\mu,\nu\lambda}+\varepsilon_{\nu,\mu\lambda}~\stackrel{(1)}{=}~ g_{\mu\nu}\partial_{\lambda}\omega \tag{8}$$

$$2\varepsilon_{\lambda,\mu\nu}~\stackrel{(8)}{=}~g_{\lambda\mu}\partial_{\nu}\omega +g_{\lambda\nu}\partial_{\mu}\omega -g_{\mu\nu}\partial_{\lambda}\omega ~\stackrel{(7)}{=}~\text{constant}.\tag{9}$$ $\Box$

Использованная литература:

1. П. Гинспарг, Прикладная конформная теория поля, arXiv:hep-th/9108028 ; стр.5.

2. Дж. Словак, Естественный оператор на конформных многообразиях, докторская диссертация, 1993; стр.46. Файл PS доступен здесь на домашней странице автора. (Подсказка: Вит Тучек .)

--

$^1$Параметры$a_{\mu}$и$b$в уравнении (7) соответствуют$n$специальные конформные преобразования и$1$дилатация, соответственно,

$$\varepsilon_{\mu}~=~\frac{\omega}{2}x_{\mu}-\frac{x^2}{4}\partial_{\mu}\omega \quad \stackrel{(7)}{\Rightarrow} \quad \varepsilon_{\mu,\nu}~=~\frac{\omega}{2}g_{\mu\nu}+\frac{x_{\mu}}{2}\partial_{\nu}\omega-\frac{x_{\nu}}{2}\partial_{\mu}\omega .\tag{10}$$

уравнение (10) удовлетворяет УКЭ (1), которая является неоднородным линейным УЧП 1-го порядка в$\varepsilon_{\mu}$. Какие еще есть решения? После вычитания решения (10) из КУУ (1) получим соответствующее однородное линейное УЧП 1-го порядка, представляющее собой уравнение Киллинга (КУ)

$$\varepsilon_{\mu,\nu}+\varepsilon_{\nu,\mu}~=~0\tag{11}$$

с

$$\omega~=~0.\tag{12}$$

уравнения (9) и (12) теперь показывают, что

$$\varepsilon_{\mu}~\stackrel{(9)+(12)}{=}~a_{\mu\nu}x^{\nu}+b_{\mu}\tag{13}$$

являются аффинными функциями. Сравнивая с КЭ (11), видим, что

$$a_{\mu\nu}~\stackrel{(11)+(13)}{=}~-a_{\nu\mu} \tag{14}$$

является антисимметричным. Решение (13) соответствует$n(n-1)/2$вращения и$n$переводы. В целом мы не генерируем ничего, кроме$(n+1)(n+2)/2$размерная (глобальная) конформная алгебра. Основное сообщение состоит в том, что локальные конформные деформации являются жесткими для$\color{red}{n\geq 3}$. См. также этот пост на Phys.SE.