Почему полоса частот среды важна для марковианства?

Короткий математический ответ на этот вопрос содержится в свойствах преобразований Фурье. Временная реакция среды на возмущение дается преобразованием Фурье ее частотной реакции на то же возмущение. Поэтому, если в ванне возмущается широкий диапазон частот, отклик возникает в узком диапазоне времени. Позвольте мне попытаться кратко объяснить, как эта математическая структура возникает из физики.

Спонтанное излучение можно понять из следующих расплывчатых рассуждений. Электрон в возбужденном состоянии создает электрическое поле. Это поле колеблется во времени; эти флуктуации управляют переходами в электронном состоянии. Следовательно, спонтанное излучение возникает из-за воздействия электрона на его окружение, которое, в свою очередь, вызывает обратное действие, влияющее на электрон.

Реакция электромагнитного поля на возмущение$\mathbf{E} = E\hat{\mathbf{z}}$(Я произвольно выбрал поляризацию в$z$направление) фиксируется функцией отклика :$\Gamma(t) = \langle E(t) E(0)\rangle,$где$E(t)$обозначает оператор изображения Гейзенберга. Эта функция является центральной в теории линейного отклика на малое возмущение. Например, если ввести классический электрический диполь, который колеблется с зависящим от времени дипольным моментом$d(t)$, результирующее электрическое поле в этой точке определяется сверткой

$$\delta\langle E(t) \rangle \approx -i\int_0^t\mathrm{d}s\; d(t-s) \Gamma(s).$$

Предыдущие абзацы служат просто для того, чтобы мотивировать появление функции отклика.$\Gamma(t)$. В физически реалистичном случае, когда у нас есть квантовый диполь (например, атом) с двумя состояниями, разделенными частотой$\epsilon$, функция отклика определяет скорость спонтанного излучения, которая пропорциональна величине:

$$\gamma(t) \sim \int_0^t\mathrm{d}s\; e^{i\epsilon s} \Gamma(s).$$ При условии, что $\Gamma(s)$распадается гораздо быстрее, чем $1/\epsilon$, на раз $t\gg 1/\epsilon$мы можем сделать марковское приближение $$\gamma(t) \to \gamma = \int_0^{\infty}\mathrm{d}s\; e^{i\epsilon s} \Gamma(s),$$ так что мы фактически имеем постоянную скорость спонтанного излучения во времени, что приводит к чистому экспоненциальному распаду.

Когда$\Gamma(s)$распадаются достаточно быстро, чтобы мы могли сделать марковское приближение? Электрическое поле$E(t)$содержит много компонентов (нормальных мод), которые колеблются на разных частотах. Если мы сделаем это разложение, мы получим представление Фурье, например

$$\Gamma(t) = \int_0^\infty\mathrm{d}\omega\; e^{-i\omega t} J(\omega),$$ где спектральная плотность $J(\omega)$количественно определяет степень, в которой поле на частоте $\omega$возмущается диполем. Для атома, взаимодействующего с электромагнитным полем в свободном пространстве, обычно получается что-то вроде $$J(\omega) \sim \lambda \frac{\omega^3}{\omega_c^2}e^{-\omega/\omega_c}.$$ Здесь $\lambda$– малый безразмерный параметр связи, а $\omega_c$это большая частота среза порядка $c/a_0$, где $a_0$— боровский радиус. Из чисто размерных рассуждений видно, что $$\Gamma(t) \sim \frac{\lambda \omega_c^2}{(\omega_c t)^4}.$$ Это говорит вам, что $\Gamma(t)$исчезает после времени, намного большего, чем $\tau = 1/\omega_c$. На этот раз $\tau$называется временем памяти . Так как здесь $\omega_c \approx 10^{18} \text{Hz}$, а типичные оптические частоты $\epsilon \approx 10^{14} \text{Hz}$, марковское приближение вполне оправдано.

Крайний пример марковского шума (белого шума) соответствует$J(\omega) = \text{const.}$, в таком случае$\Gamma(t) = \delta(t)$, т.е. время памяти ванны бесконечно мало. Противоположной крайностью является что-то вроде фотонного кристалла, где окружающая среда имеет резкий край полосы на частоте$\Omega$где$J(\omega)$уходит в ноль. В этом случае функция ответа заканчивается чем-то вроде

$$\Gamma(t) = \int_0^\Omega e^{-i\omega t} J(\omega) \sim f(t) e^{-i\Omega t}$$ где $f(t)$есть некоторая функция времени. Сейчас если $\Omega$сравнимо с $\epsilon$, можно представить, что будут резонансные эффекты, и плавной необратимой передачи энергии в окружающую среду не будет. Скорее $\gamma(t)$становится сложной функцией времени, и вы увидите немарковскую динамику. Если частота $\epsilon$лежит глубоко в запрещенной зоне, то спонтанного излучения вообще нет, поскольку просто нет мод электромагнитного поля, с которыми можно было бы связаться, т.е. эффективно $J(\omega) = 0$в соответствующем диапазоне частот.

Надеюсь, эти примеры должны убедить вас в том, что шкала частот, определяющая ширину полосы возмущенных мод в окружающей среде ($\omega_c$,$\Omega$) порядка обратного времени памяти. Таким образом, большая пропускная способность соответствует более короткому времени памяти, т.е. более марковским средам.

ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ: Все приведенные здесь уравнения основаны исключительно на памяти и минимальных предварительных проверках согласованности. Факторы пропорциональности и различные условия, которые я произвольно счел неуместными, почти наверняка отсутствуют.