Топология пространства-времени в измерении 2+1

Отличный вопрос. Я думаю, что это тот тип топологий, с которым любят иметь дело физики, конечно, неправда, что это все пространства, которые можно записать.

Например, если вы потребуете глобальной гиперболичности, вы получите что-то вроде того, что вы описываете.

В общем, пусть$X$быть гладким многообразием и$\{U_i\}_{i \in I}$будь атласом, пусть$\mathcal T$— пучок симметричных положительных тензоров ранга 2 над$X$. Если вы можете предоставить

• Начальные условия для уравнений Эйнштейна на некотором подпространстве$U_i$, и
• разделы$g_i \in \mathcal T(U_i)$которые решают уравнения Эйнштейна с такими начальными условиями, что
• $g_i$гладко приклеить к секции$g \in \mathcal T(X)$

Тогда вы можете позвонить паре$(X, g)$пространство-время.

Означает ли это, что все пространственно-временные многообразия (плоские), которые мы могли бы допустить в измерении 2+1, обязательно имеют эту топологию (это кажется большим ограничением)?

Карлип говорит о компактных коллекторах. Если исключить требование компактности, то его утверждение уже не верно и даже не имеет смысла, поскольку относится к границе.

В качестве конкретного примера, плоское пространство-время в измерениях 2+1 может иметь топологию евклидова трехмерного пространства. Просто не будет компактным.

Чтобы понять суть того, о чем говорит Карлип, рассмотрим пример ОТО в 2+1 измерениях на трехмерной сфере, которая компактна. На сфере вы не сможете определить ориентацию во времени.

Кроме того, необходимо ли, чтобы граница пространства-времени (для тех, у кого она есть) была пространственноподобной?

Да, я думаю, что есть контрпримеры, если граница времениподобна. Например, рассмотрим сплошной пончик с топологией$B^2\times S^1$, где$B^2$представляет собой закрытый диск. Пусть точка ориентации времени находится вокруг бублика, т. е. вокруг отверстия бублика. Граница времениподобна, а топология не имеет вида$[0,1]\times\Sigma$.