Различия между спином КТП и теорией Эйнштейна-Картана?

Добрый вечер всем,

В настоящее время я изучаю КТП и основы общей теории относительности (ОТО) и теории Эйнштейна-Картана (ЭК). А именно, я только что изучил определение тензора энергии-импульса Белинфанте-Розенфельда и его частную эквивалентность с обычным симметричным тензором энергии-импульса ОТО. Тогда я понимаю, что это определение тензора энергии-импульса может быть наиболее подходящим, поскольку оно удовлетворяет законам сохранения КТП/ОТО и из-за эмпирических данных КТП/ОТО соответственно.

Однако я не понимаю концепцию «спин», когда рассматриваются GR или EC. Я видел у С. Вайнберга - Гравитация и космология следующее определение вектора спина:

$S_{\mu}=\epsilon_{\mu \nu \lambda \rho}\,J^{\nu \lambda}\,u^{\rho}$,

где$J^{\nu \lambda}=\int{(x^{\nu}\,T^{\lambda 0}-x^{\lambda}\,T^{\nu 0})\,dx^{3}}$,$T^{\lambda \rho}$- тензор энергии-импульса (я думаю, это канонический тензор-энергия-импульс, хотя он симметричен в частном случае, рассмотренном Вайнбергом) и$u^{\rho}$является четырехскоростной.

Я полагаю, что это определение должно воспроизводить правильные выражения для спина скалярных, спинорных и векторных полей с учетом выражения тензора энергии-импульса таких полей. Это верно?

С другой стороны, я не понимаю величину тензора спина$\frac{\delta S}{\delta \Gamma^{\lambda}\,_{\rho \nu}}$присутствует в теории EC, где$\Gamma^{\lambda}\,_{\rho \nu}$являются компонентами аффинной связности с кручением. В чем разница между этим тензором спина и вектором спина Вайнберга, определенным выше? Например, согласно ЭК теории тензор спина материи тождественно равен нулю, если тензор кручения обращается в нуль и ОТО восстанавливается, однако существуют и другие величины (как видно выше), представляющие спин материи в таком случае ОТО . Тогда, учитывая также и эмпирические данные, каково подходящее выражение для вращения материи?

На мой взгляд, возможный ответ заключается в том, что тензор спина, присутствующий в EC-теории, является уникальной величиной для представления спина материи в этой теории и, следовательно, имеет сингулярное свойство обращаться в нуль, когда кручение равно нулю, так что эта структура требует существования кручения, чтобы ввести во Вселенной источники вращения (поскольку ОТО требует кривизны, когда присутствует тензор энергии-импульса). Кроме того, стандартный подход GR, предложенный Weinberg et al. не нуждается в наличии кручения и позволяет описать вращение материи без наличия кручения (т.е. только в искривленном пространстве-времени), так что оба подхода совместимы с текущими эмпирическими данными, но с теоретической точки зрения. вид у них есть принципиальные отличия. Это верно?

Кроме того, я знаю, что тензор энергии-импульса ЭК вообще асимметричен, и у меня нет никаких проблем с этим результатом, только с возможными соотношениями и различиями между спиновыми величинами упомянутых теорий.

С наилучшими пожеланиями.