Квантование электронного спина

Я собираюсь дать вам не строгое объяснение, а чувство.

Дискретизация углового момента является следствием квантовой природы частиц.

Представьте себе классическую вращающуюся частицу, вариант действия можно записать:

$\Delta S = J \Delta \theta$

где$J$- угловой момент, и$\theta$угол.

На данный момент нет причин, по которым$J$должны иметь дискретные значения.

Теперь обратимся к квантовой механике. Суть в том, что в квантовой механике$\large \frac{S}{\hbar}$является фазой. Например, если мы хотим рассчитать амплитуду перехода (пропагатора), у нас есть:

$$<x't'|xt> = \int D \Phi ~e^{i\large \frac{\Delta S(\Phi)}{\hbar}}$$ где сумма делается для всех путей $\Phi$, с $\Phi(t) =x$и $\Phi(t') =x'$

В этом выражении очень ясно, что$\large \frac{S}{\hbar}$действительно фаза.

Теперь мы можем написать, формально,$e^{i\large \frac{\Delta S}{\hbar}}$как, на ваш вопрос, как$e^{i\large \frac{ J \Delta \theta}{\hbar}}$

Но потому что$\theta$является углом, он отождествляется с$\theta + 2 \pi$, и если мы этого хотим$e^{i\large \frac{ J \Delta \theta}{\hbar}}$не меняется, нам нужно:

$$\frac{J (2 \pi)}{\hbar} = 2 \pi n$$ То есть :

$$J = n \hbar$$

Теперь, если вы хотите быть более строгим, можно сказать, что в квантовой механике мы будем искать унитарные представления групп. Например, мы можем посмотреть на группу вращений$SO(3)$. Это компактная группа (из-за отождествления$\theta$с$\theta + 2 \pi$), поэтому мы можем найти конечномерные представления. Чтобы найти все представления, мы должны фактически рассмотреть$SU(2)$. Представления$SU(2)$помечены полуцелым или целым числом:$0,1/2,1,3/2,2$и т.д... В представлении$s$, у вас есть$2s+1$состояния, отмеченные$-s, -s+1,....,s-1,s$. Для представления$s= 1/2$, у вас есть 2 состояния с пометкой$-1/2, +1/2$

Спин частицы не создается вращением частицы вокруг себя. Это релятивистский эффект. Пожалуйста, спросите себя, почему электрон в атоме водорода можно найти на определенных расстояниях от ядра, а НЕ НА ЛЮБОМ расстоянии. Это потому, что волновая функция интерферирует сама с собой, и существуют запрещенные расстояния, потому что там волновая функция РАЗРУШАЕТ интерференцию. То же самое со спиной. Разница в том, что волновая функция спина не говорит, ГДЕ находится частица, она не является функцией положения.

С удовольствием,

София