Полный спиновый угловой момент системы двух частиц со спином 1/2

Да, они могут, это$\left| 1, -1 \right>$государство, но$S$является величиной спина. Вы думаете о собственных значениях оператора$\hat{S}$. Эти собственные значения$M_s$, пусть вас не смущают обозначения.

в$\vert{S, M_S}\rangle$в$S$это связано с нормой прибавленного вращения и$M_S$это ориентация (проекция по оси). Итак, старый интуитивный$-1$крутить это$\vert{1, -1}\rangle$кет.

ОП спросил

Почему у нас не может быть состояния с$s=−1$?

1. Ну, это следует из определений в теории представлений для$su(2)$ Алгебра Ли с генераторами$\hat{S}_i$. Оператор$\hbar^{-2}\hat{\bf S}^2$является полуположительно определенным и Казимиром . Это означает, что его собственные значения$\lambda\in [0,\infty[$неотрицательны,

   $$\hat{\bf S}^2|v\rangle~=~ \hbar^2\lambda|v\rangle.$$ Здесь$\hbar^2$включен, чтобы сделать$\lambda$безразмерный.

2. Затем мы определим биективное отображение

   $$[0,\infty[~\ni~ s\quad\mapsto \quad s(s+1)~=~\lambda~\in~[0,\infty[.$$ Вместо того, чтобы маркировать неприводимые представления$\lambda\in [0,\infty[$, мы могли бы также обозначить неприводимые представления с помощью$s\in [0,\infty[$. На практике физики используют$s$(и математики используют$2s$), так как для конечномерных неприводимых представлений$s$оказывается полуцелым, $$s~\in~\frac{1}{2}\mathbb{N}_0.$$

3. В частности,$s$по определению никогда не бывает отрицательным, ср. Вопрос ОП. В полуклассическом режиме$s \gg 1$, переменная$s$имеет физическую интерпретацию приблизительно равной величине

   $$\sqrt{\lambda}~=~\sqrt{s(s+1)}~\approx~ s\qquad\text{for}\qquad s ~\gg~ 1$$ вектора спина$\hbar^{-1}\hat{\bf S}$.

Учитывать$\mathbf{J}_1$и$\mathbf{J}_2$— два оператора углового момента, действующие в пространстве состояний$\mathcal{E}_1$и$\mathcal{E}_2$. Полный угловой момент$\mathbf{J}=\mathbf{J}_1+\mathbf{J}_2$действует на тотальное пространство состояний$\mathcal{E}_1\otimes \mathcal{E}_2$.

Вы просто имеете дело с конкретным случаем$\mathbf{J}_i=\mathbf{S}_i$.

Существует естественный базис на тотальном пространстве, образованный собственными векторами, общими для$J_1^2,J_2^2,J_{1z},J_{2z}$который

это тот, который вы называете несвязанным. В этом базисе неудобно иметь дело с полным угловым моментом.

Все дело в том, что мы можем рассмотреть новый набор коммутирующих наблюдаемых$J_1^2,J_2^2,J^2,J_z$. С$\mathbf{J}$также угловой момент,$J^2$имеет собственные значения$j(j+1)\hbar^2$и$J_z$имеет собственные значения$m\hbar$. Собственные векторы, образующие базис, соответствующий этому коммутирующему набору наблюдаемых, имеют вид

Остается определить возможные значения$j$. Теперь можно доказать , что дано$j_1$,$j_2$единственно возможные значения$j$, а значит, и единственно возможные кеты$|j_1,j_2,j,m\rangle$, следующие

так что вы выбираете$j_1,j_2$начните с суммы и продолжайте вычитать$1$пока не достигнешь разницы$|j_1-j_2|$. Это возможные значения для$j$.

В твоем случае$j_1,j_2=1/2$, следовательно, единственная пара$j_1,j_2$является$1/2,1/2$и для этой пары вы можете проверить, что у вас есть только$j=1,0$.

Это основная идея. Я настоятельно рекомендую прочитать полное развитие этих идей. Хорошим текстом являются главы по этому вопросу в книге Коэна «Квантовая механика, том 2».