Квантование поля безмассовых нейтрино

Если рассматривать безмассовое нейтрино или антинейтрино (во всем посте я считаю нейтрино рез. антинейтрино безмассовыми), то оно описывается уравнением Вейля:

$$\overline{\sigma}^{\mu}\partial_\mu \chi_a =0$$ если она левая и нейтринная (т.е. преобразующая по закону$D^{(\frac{1}{2},0)}$)

или

$$\overline{\sigma}^{\mu}\partial_\mu \xi^\dagger_\dot{b} =0$$ если оно правостороннее и антинейтринное (т.е. преобразующееся согласно$D^{(0,\frac{1}{2})}$)

Вместо этого частица Дирака описывается биспинором (4-спинором).

$$\left(\begin{array}{c} \chi_a \\ \xi^{\dagger}_\dot{b} \end{array} \right)$$ которое имеет 4 степени свободы: (частица со спином вверх; частица со спином вниз; античастица со спином вверх; античастица со спином вниз) решение уравнения Вейля, по-видимому, имеет только одну степень свободы, так как спиральность связан с типом нейтрино (нейтрино или антинейтрино).

Однако решение Вейля имеет 2 компонента. Хуже того, согласно Ландау/Лифшицу, том 4 (я тоже искал у Средненицкого такое развитие, но не нашел), соответствующий полевой оператор свободного уравнения Вейля может быть развернут в решениях с положительной и отрицательной частотой:

$$\chi_a = \sum_p (U(p)_a a_p e^{ipx} + V(p)_a b_p^\dagger e^{-ipx})$$

Я использую заглавные буквы для 2-spinors$U(p)$и$V(p)$чтобы отличить их от известных биспинорных решений уравнения Дирака$u(p)$и$v(p)$.

В: Как возможно такое развитие положительных и, прежде всего, отрицательных частотных решений? Кажется, что в растворе$\chi_a$, который описывает исключительно нейтрино, антинейтрино смешиваются из-за появления решений с отрицательной частотой. Вот этот момент я вообще не понимаю.

В: Каково отношение$U(p)_a$и превыше всего$V(p)_a$с решениями Дирака$u(p)$и$v(p)$?

Q: В частности, как гарантируется, что$V(p)_a$остается левым 2-спинором, т. е. не превращается в правоспиральный 2-спинор (что, по-видимому, проявляется как$V(p)$- коэффициент отрицательного частотного решения)

Я считаю эту деталь важной, поскольку при эрмитовом сопряжении оператор поля превращается, по-видимому, в правый 2-спинор:

$$\chi^\dagger_\dot{a} = \sum_p (U(p)_\dot{a} a^\dagger_p e^{-ipx} + V(p)_\dot{a} b_p e^{ipx})$$

Такой замены представления не происходит, если берется эрмитово сопряженное биспинорное Дираковское решение, поскольку эрмитово сопряженное биспинорное Дираковское решение переходит в представление, эквивалентное исходному (стандартному биспинорному).