Почему мы говорим, что в нерелятивистском пределе нам нужен только двухкомпонентный спинор?

Термин «уравнение Шредингера» неоднозначен и иногда может относиться к абстрактному уравнению.$H|\psi> = E|\psi>$а иногда ссылаются на более конкретные вещи, такие как пространственная часть нерелятивистской волновой функции. Нерелятивистская волновая функция частицы со спином действительно включает спиноры, поэтому применяемое к ней общее уравнение Шредингера имеет как пространственную, так и спиновую части.

Это правда, что спиноры, необходимые для описания нерелятивистской частицы, являются только двухкомпонентными, а не четырехкомпонентными, если кинетическая энергия частицы намного меньше ее энергии покоя ($\frac{p^2}{2m} << mc^2$)

The easiest way I can think of to explain the difference is in terms of anti-particles. Non-relativistic quantum mechanics only describes particles, there is no such thing as anti-particles. So it makes sense that you only need half the number of degrees of freedom. The same 4-component Dirac spinor in quantum field theory is used to represent both the electron and the positron. Another way to say this is that there are both positive-energy and negative-energy solutions to the Dirac equation. But in non-relativistic quantum mechanics, there is no reason to consider antiparticles or negative-energy solutions. We only care about describing electrons (or other similar particles). If you take the non-relativistic limit of a 4-component Dirac spinor, you just end up with 2 of the components always being the same, and the other 2 components always being the same. So you may as well just discard the duplicated parts and only use 2-components.

С точки зрения теории групп пространственно-временной группой релятивистской квантовой механики является группа Лоренца SO(3,1). Когда вы посмотрите на все представления этого, вы обнаружите тривиальное скалярное представление, некоторые спинорные представления, некоторые векторные представления и т. д. Спинорные представления лучше рассматривать как SU(2)xSU(2), которые локально изоморфны SO( 3,1). Поскольку существует 2 копии SU(2), у вас есть два 2-компонентных спинора Вейля (которые можно наложить друг на друга, чтобы построить 4-компонентный спинор Дирака). Но в нерелятивистской квантовой механике время — это не измерение, это просто отдельный параметр. Группа вращений в трехмерном пространстве - это просто SO (3). Таким образом, вам нужна только одна копия SU(2), чтобы найти спинорное представление, локально изоморфное ему. Добавление второй копии было бы просто излишним.