Квантование свободного поля: случай Клейна-Гордона

Я новичок и читаю этот текст курса по QFT.

Сначала автор вводит уравнение КГ:

∂ мю ∂ мю ф + м 2 ф "=" 0

[с подписью Минковски ( + , − , − , − ) ]. Затем с помощью преобразования Фурье получают:

ф ( Икс , т ) "=" ∫ д 3 п ( 2 π ) 3 е я п ⋅ Икс ф ( п , т )

Мой первый вопрос связан, возможно, с выбором обозначения или опечаткой. Должны ли мы использовать ту же функцию, что и для поля, для записи преобразования Фурье? Или мы должны поставить Φ ( п , т ) вместо ф ( п , т ) ?

Теперь, если мы применим преобразование Фурье к уравнению КГ, мы получим:

( ∂ 2 ∂ т 2 + п 2 + м 2 ) ф ( п , т ) "=" 0
которое представляет собой уравнение осциллятора, колеблющегося с частотой ( п 2 + м 2 ) .

(Я все еще запутался здесь, потому что нам нужно сказать, что преобразование Фурье поля Φ ( п , т ) является осциллятором).

Мой второй вопрос заключается в том, почему мы используем п здесь мы могли бы обозначить это как-то иначе. Ниже мы называем это 3-импульсом. Это также сбивает меня с толку. Введем сопряженный импульс поля формулой π ( Икс ) . Но 3-импульс на данном этапе не имеет смысла, потому что мы еще не обсуждали частицы и можем использовать любое другое название. Теория просто не нуждается в понятии частиц. Я вижу, что в дальнейшем мы будем называть возбуждения поля частицами с энергиями ( п 2 + м 2 ) .

Если мы хотим квантовать этот осциллятор, мы помним из квантово-механического гамильтонова формализма, что обобщенные координаты могут быть заданы в терминах операторов рождения и уничтожения как:

д "=" 1 2 ю ( а + а † )

Теперь автор дает уравнение поля в виде линейной суммы бесконечного числа операторов рождения и уничтожения, индексируемых 3-импульсом п :

ф ( Икс ) "=" ∫ д 3 п ( 2 π ) 3 1 2 ю п [ а п е я п . Икс + а п † е − я п . Икс ]

Мой третий вопрос заключается в том, почему у нас есть е − я п . Икс . Разве это не должно быть е я п . Икс вместо.

Мои четвертый и пятый вопросы. Не правда ли, нам просто нужно заменить Φ с д во втором уравнении выше? И где т ?

Ответы (1)

Мой первый вопрос связан, возможно, с выбором обозначения или опечаткой. Должны ли мы использовать ту же функцию, что и для поля, для записи преобразования Фурье? Или надо вместо ϕ(p,t) поставить Φ(p,t)?

Это стандартная ужасная условность физиков. Ясно, что функциональные формы двух «фи» различны, но используемый символ один и тот же. Это действительно ужасное злоупотребление обозначениями, оно основано на соглашении, согласно которому мы «знаем», что «p» — это буква, обычно используемая для обозначения импульса, а «x» — буква, обычно используемая для обозначения положения. По правде говоря, лучше написать (обратите внимание на тильду над вторым фи):

ф ( Икс , т ) "=" ∫ д 3 п ( 2 π ) 3 е я п . Икс ф ~ ( п , т )
и действительно, иногда вы будете видеть это обозначение.

Мой второй вопрос заключается в том, почему мы используем p здесь, мы могли бы обозначить это как-то иначе. Ниже мы называем это 3-импульсом.

Это в ожидании его последующей интерпретации как импульса. Нет никаких причин, по которым эта интерпретация должна быть ясной, пока вы не изучите последствия уравнения.

Мой третий вопрос заключается в том, почему у нас есть е − я п . Икс . Разве это не должно быть е я п . Икс вместо.

С ю зависит только от величины импульса, из которого вы можете менять переменные п → к − п → если ты хочешь. Это просто изменит ваше определение а п → † . Это общепринятое определение.

[ Мой четвертый и пятый вопросы ...] Не правда ли, что нам просто нужно заменить Φ с д во втором уравнении выше? И где т ?

Вы должны расширить идею «q» до величины, зависящей от импульса. И, как обсуждалось выше, есть обычный способ сделать это.

Переменная t не появляется в приведенном вами уравнении, потому что в этой точке вы выполняете преобразование Фурье только по отношению к положению. Чтобы предвидеть/понимать, что происходит, подумайте об операторах в картине Шредингера. Они не имеют явной зависимости от времени. Зависимость от времени появится позже, когда вы перейдете к картине Гейзенбурга и поместите своих операторов между е − ЧАС ^ т и е я ЧАС ^ т .

Пожалуйста. Удачи!
Связанный с этим новый вопрос: является ли этот осциллятор, вибрирующий с частотой, зависящей от импульса фи, той же идеей, лежащей в основе понятия квантовых флуктуаций, или он вообще не связан с этой вибрацией?
Если у вас есть новый вопрос, уточните его и опубликуйте как актуальный вопрос. Мы не можем вести расширенную дискуссию в комментариях.
@VictorVMotti -Что касается вашего второго вопроса, который вы можете придумать п быть импульсом одной из мод Фурье ф ~ ( п , т ) . Режимы Фурье существуют еще до квантования.
Квантование свободного поля: случай Клейна-Гордона
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v