Какова связь между вибрацией поля и квантовой флуктуацией?

Слово «флуктуация» появляется во множестве различных контекстов, в большинстве случаев без формального определения и иногда означая много разных вещей.

Например, в контексте статистической механики С.Ф.Галл пишет:

Предположим, мы используем алгоритм Гиббса для создания равновесного ансамбля и вычисляем среднее значение по ансамблю интересующей величины.$f$, вместе с его дисперсией$(\Delta f)^{2} \equiv \langle(f - \langle f \rangle)^{2} \rangle$. Сейчас$\Delta f$безусловно представляет нашу неуверенность в количестве$f$но, согласно большинству изложений статистической механики, он также должен указывать уровень временных флуктуаций$f$. Таким образом, здесь снова возникает заблуждение: тот факт, что мы не уверены в значении величины, сам по себе не означает, что она должна колебаться! Конечно, она может колебаться, и если бы это было так, то это была бы очень веская причина не сомневаться в ее ценности. Однако без дальнейшего анализа мы просто не знаем, действительно ли она колеблется. Наконец-то мы нашли в статистической механике вопрос, в котором важны эргодические соображения. Мы можем набросать частичный ответ на эту проблему, следуя Джейнсу (1979).

Мы определяем

$$\bar{f} = \frac{1}{T} \int{ f(t)\, dt }$$ как долгосрочное среднее значение и $$(\delta f)^{2} = \frac{1}{T} \int{ ( f(t) - \bar{f} )^{2} \, dt }$$ как долгосрочная дисперсия. Взяв средние значения по ансамблю, мы действительно находим, что $\langle f\rangle = \langle \bar{f}\rangle$; однако $$\langle(\delta f)^{2} \rangle = (\Delta f)^{2} + (\Delta \bar{f})^{2}$$ и этот второй член не обязательно равен нулю.

Ситуация следующая: если усреднение по времени берется за слишком короткий интервал времени, то наблюдаемая вариация$f$конечно, может быть \emph{меньше}, чем$\Delta f$равновесного ансамбля. Однако долгосрочная изменчивость$f$на самом деле может быть больше, чем$\Delta f$, в зависимости от конкретного свойства ФПВ ансамбля. Даже тогда, хотя мы можем вычислить$\langle \bar{f}\rangle$и$\langle(\delta f)^{2} \rangle$как и выше, мы еще не знаем, надежны ли эти оценки; для этого мы должны исследовать корреляции более высокого порядка в ансамбле. Подробности снова в Jaynes (1979).

Мораль в том, что алгоритм Гиббса дает неопределенность наших прогнозов, а не наблюдаемые временные колебания. Чтобы сказать, что термодинамическая величина действительно флуктуирует (что, конечно, вполне возможно), требуется дальнейший, решительно нетривиальный анализ.

Поэтому, хотя вы часто слышите, как люди говорят о «тепловых флуктуациях», может быть не сразу ясно, действительно ли то, что они говорят, что-то означает , или это просто причудливый синоним тепловых эффектов .

Аналогичная ситуация и в квантовой механике. Величины имеют внутреннюю неопределенность из-за некоммутирующей наблюдаемой алгебры, что может привести к той же путанице, что и выше, — сказать, что величина «флуктуирует», когда все, что вам действительно разрешено, это сказать, что она неопределенна. Как и выше, выражение «квантовые флуктуации» часто используется как причудливый синоним квантовых эффектов .

Теперь, чтобы добавить к этому обсуждению нечто более существенное, чем чистая семантика, рассмотрим эффект Казимира для безмассовой частицы в одном пространственном измерении*. Предполагается, что вы должны учитывать конфигурации поля, подчиняющиеся определенным граничным условиям, например

$$\phi(0,t) = \phi(L,t)$$

Больше нет континуума возможных режимов. Разложение поля по модам Фурье будет выглядеть примерно так:

$$\phi(x,0) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} {a_k \exp\left(i \left(\frac{2 \pi k}{L}\right)x\right) + a^\dagger_k \exp\left(-i \left(\frac{2 \pi k}{L}\right)x\right)}$$

Наша цель — вычислить среднее значение гамильтониана в вакуумном состоянии,

$$\langle 0 | H | 0 \rangle = \sum_{k \in \mathbb{Z} } \omega_k \langle 0 | a_k a^\dagger_k | 0 \rangle = \sum_{k \in \mathbb{Z} } \frac{2 \pi k }{L}$$

В действительности эта сумма, очевидно, расходится и требует регуляризации. Я не буду заморачиваться на этом, так как это не является целью этого поста. См . здесь , если вам интересно; просто имейте в виду, что они использовали граничные условия Дирихле, а я использовал периодические граничные условия.

Смысл этого примера в том, чтобы проиллюстрировать, что люди имеют в виду, когда говорят о «квантовых флуктуациях» между пластинами. Они действительно связаны с гамильтонианом гармонического осциллятора для каждой моды Фурье, но применимы предостережения, отмеченные в связанном вопросе , связанном с ACuriousMind - в комментариях к его ответу есть интересное обсуждение, которое вы должны прочитать.

Мы также можем связать это с «тепловыми флуктуациями», отметив, что один из способов ввести конечную температуру в теории поля — это взять теорию поля, определенную в евклидовом пространстве, и ввести периодические граничные условия в (воображаемом) направлении времени. Это делает аналогию между этими «квантовыми флуктуациями» и «тепловыми флуктуациями» точной, так что комментарии С.Ф.Галла применимы напрямую.

*Пожалуйста, не относитесь к этому примеру слишком серьезно. То, что не может быть безмассовых скалярных теорий поля в двух пространственно-временных измерениях, является хорошо известным фактом . Сам пример хорош, потому что граничные условия обеспечивают естественный регулятор инфракрасного излучения, а интерпретация с точки зрения параллельных пластин и т. д. — нет.

Я буду очень смелым и постараюсь быть прямолинейным.

Нет, они не одно и то же в том смысле, что их природа очень различна, хотя и связана.

Подумайте об обычном гармоническом осцилляторе, будь то квантово-механический или классический, система будет колебаться с некоторой частотой, которая не зависит от квантовой (или классической) природы системы.

Теперь, поскольку гармонический осциллятор фактически является ограниченной системой, существует своего рода типичная ограничивающая «шкала длины», которая будет влиять на квантовое поведение. В частности, он накладывает грубую границу на неопределенность положения (или поля смещения, или чего-то еще), что, в свою очередь, также делает неопределенность импульса этого поля отличной от нуля (в силу коммутационных соотношений, которым они удовлетворяют).

Тот факт, что это ограничение порождает ненулевой импульс, называется флуктуацией нулевой точки и приводит к возникновению основного состояния с отличной от нуля энергией (т. е. постоянно колеблющегося).

Обратите внимание, что чем сильнее «пружинная постоянная», тем больше она может колебаться из-за этого механизма неопределенности.

Предостережение: я попытаюсь ответить на этот вопрос, но я буду играть очень быстро и свободно с определениями и редактированием, потому что мне нужно идти на работу. Так что полегче с придирчивыми комментариями, хейтеры. В любом случае...

Но является ли это колебание или вибрация тем же понятием, что и квантовая флуктуация, или они связаны между собой?

Первое, что нужно отметить, это то, что из поста не ясно, действительно ли вы уже что-то «квантовали»; можно изучать уравнение Клейна-Гордана в контексте классической теории поля или квантовой теории поля. Отличие состоит в том, что в квантовой теории поля$\phi(\vec x, t)$являются операторами , удовлетворяющими некоторым каноническим коммутационным соотношениям. Например,

$$[\hat\phi(\vec x),\hat\pi(\vec y)]=i\hbar\delta(\vec x-\vec y)$$

Но... так как это несколько подразумевается в вопросе... предположим, что у нас есть квантовая теория.

Далее напомним, что при вторичном квантовании оператор может быть записан как интеграл по квантованным полям. Например:

$$\hat {\vec P} \sim \int d^3x \hat\phi(\vec x)i\nabla \hat\phi(\vec x)\;,$$ где $\hat {\vec P}$— оператор полного импульса. Уравнение такого рода справедливо для одночастичных операторов, таких как $\hat {\vec P}$, но не двухчастичные операторы, как, например, электростатическое взаимодействие (эти операторы требуют четырех $\phi$операторы для выражения во втором квантовании). Приведенное выше уравнение представляет собой «вторично-квантованную» форму следующего выражения для фиксированной системы N-частиц в «первом квантовании»: $$\hat {\vec P}=\sum_{i=1}^N\hat {\vec p_i}\;.$$ где $\hat {\vec p}_i$— оператор импульса i-й частицы.

Далее, мы должны уточнить, что вы подразумеваете под «квантовыми флуктуациями». Обычно это означает что-то вроде дисперсии некоторого оператора, отличного от нуля в квантовой теории, но равного нулю в классической теории, или отличного от нуля в классической теории. Где «дисперсией оператора$\hat O$" Я имею в виду

$$\langle \hat O^2\rangle-\langle O\rangle^2\;,$$ где $<...>$указывают ожидаемые значения по отношению к некоторому квантовому состоянию (или набору состояний, заданному, например, квантовой статистической матрицей).

Важно понимать, что нам по-прежнему нужны квантовые состояния в квантовой теории поля, как и в квантовой механике. В вопросе упоминаются только операторы, а не состояния ... так что это немного двусмысленно .... Обычно рассматриваемое состояние - это так называемое «вакуумное состояние».$|0\rangle$это состояние, которое уничтожается всеми операторами уничтожения (которые вы не определили в своем вопросе, но мы примем обычное определение). Другие состояния с номером занятия можно определить, воздействуя на основное состояние операторами создания.

Итак, в любом случае, учитывая некоторое состояние$|\Psi\rangle$и какой-то оператор$\hat O$вы можете рассчитать «квантовые флуктуации» обычным способом, который вы бы сделали для любой квантово-механической системы. например, для$\hat {\vec P}$операционный

$$<P>=\langle \Psi|\int d^3 k a^\dagger(\vec k)\vec k a(\vec k)|\Psi\rangle\;,$$ где, $\vec k$– импульс одной частицы.

Если$\Psi$является некоторым определенным состоянием числа занятий, как, например,

$$|\Psi\rangle=a^\dagger(\vec k_1)a^\dagger(\vec k_2)|0\rangle$$ то в этом случае мы могли бы рассчитать ожидаемое значение как $$<O>\sim\int d^3k {\vec k} \langle 0|a_{k_1}a_{k_2} a_k^\dagger a_k a_{k_1}^\dagger a_{k_2}^\dagger |0\rangle\;,$$ где это можно оценить, используя коммутационные соотношения и линейную алгебру, например $$a_ka_q^\dagger a_p^\dagger|0>=[a_k,a_q^\dagger a_p^\dagger]|0>=(\delta_{k,q}a_p^\dagger+\delta_{k,p}a_q^\dagger)|0>$$