Нахождение операторов создания/уничтожения

Question

Нахождение операторов создания/уничтожения

Фиберт

Использование подписи Минковского $(+,-,-,-)$ , для лагранжевой плотности

л "=" \partial_{мю} ф \partial^{мю} ф^{†} - м^{2} ф ф^{†}

${\cal L}=\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi^{\dagger}-m^2\phi \phi^{\dagger}$

комплексного скалярного поля имеем поле

ф (Икс) "=" \int \frac{д^{3} \vec{п}}{2 (2 π)^{3} ю_{\vec{п}}} (а (\vec{п}) е^{- я п Икс} + б^{†} (\vec{п}) е^{+ я п Икс}) .

$\phi(x)=\int{\frac{d^3 \vec{p}}{2(2\pi)^3\omega_\vec{p}}}(a(\vec{p})e^{-ipx}+b^{\dagger}(\vec{p})e^{+ipx}).$

Я пытаюсь сейчас найти уравнение для $a(\vec{p})$ и $b(\vec{p})$ (с конечной целью найти выражение для $[a(\vec{p}),b^{\dagger}(\vec{q})]$ с использованием $[\phi(x),\Pi(y)]$ ).

Я должен отметить, что мы рассматриваем все это в картине Шредингера (t = 0), поэтому я полагаю, что самое первое, что нужно сделать, это изменить все $x$ к $\vec{x}$ верно?

Стратегия, которую я изо всех сил пытаюсь реализовать и терплю неудачу на многих этапах:

Найдите импульс $\Pi^{\phi}(x)=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}=\dot{\phi^{\dagger}}$ .
Добавьте несколько комбинаций $\phi(x)$ и $\Pi(x)$ чтобы избавиться от одного из операторов создания/уничтожения.
Выполните обратное преобразование Фурье, чтобы найти $a(\vec{p})$ с точки зрения $\phi(x)$ , например.

Ни один из основных учебников, похоже, на самом деле не доводит это до конца, а вместо этого пишет что-то вроде «и это легко показать…». Однако я не нахожу это слишком простым, особенно часть 3, так как я не эксперт по преобразованию Фурье.

Может ли кто-нибудь направить меня куда-нибудь, где вышеизложенное вычисляется явно (более чем в 2/3 строки), или помочь мне понять каждый из 3 шагов выше?

(Я понимаю, что легко найти ссылку, где это делается для реального скалярного поля, и в этом случае мы имеем $a(\vec{p})$ и $a^{\dagger}(\vec{p})$ . Тем не менее, мне трудно следить за частями.)

Андрей

Так что это кажется мне очень широким вопросом, может быть полезно разбить его на более мелкие части. Например, что у вас есть для части 1 (вычисление импульса)? Вы должны найти, что импульс сопряжен с

ϕ^{†}

$\phi^\dagger$ является

\dot{ϕ}

$\dot{\phi}$ и что импульс сопряжен с

ϕ

$\phi$ является

{\dot{ϕ}}^{†}

$\dot{\phi}^\dagger$ , это то, что вы найдете?

Фиберт

Да, но вы можете легко понять это, просто взглянув на лагранжиан. Возможно тогда добавлю

Андрей

Хорошо :) Просто пытаюсь выяснить, где именно вы застряли. Хорошо, так что вы можете получить импульс, и вы знаете, что

[ϕ, Π] = i δ

$[\phi,\Pi] = i \delta$ на равных отрезках времени. Можете ли вы выразить

Π

$\Pi$ как расширение режима

a, b

$a,b$ и их кинжалы? Если да, то что вы получаете, когда подключаете расширения режима

ϕ

$\phi$ и

Π

$\Pi$ в

[ϕ, Π] = i δ

$[\phi,\Pi]=i\delta$ ? Опять же, полезно дать ответ, чтобы иметь более четкое представление о том, что именно вы пробовали и где что-то не работает.

Ответы (1)

Нахождение операторов создания/уничтожения

Так что это кажется мне очень широким вопросом, может быть полезно разбить его на более мелкие части. Например, что у вас есть для части 1 (вычисление импульса)? Вы должны найти, что импульс сопряжен с $\phi^\dagger$ является $\dot{\phi}$ и что импульс сопряжен с $\phi$ является $\dot{\phi}^\dagger$ , это то, что вы найдете?
Да, но вы можете легко понять это, просто взглянув на лагранжиан. Возможно тогда добавлю
Хорошо :) Просто пытаюсь выяснить, где именно вы застряли. Хорошо, так что вы можете получить импульс, и вы знаете, что $[\phi,\Pi] = i \delta$ на равных отрезках времени. Можете ли вы выразить $\Pi$ как расширение режима $a,b$ и их кинжалы? Если да, то что вы получаете, когда подключаете расширения режима $\phi$ и $\Pi$ в $[\phi,\Pi]=i\delta$ ? Опять же, полезно дать ответ, чтобы иметь более четкое представление о том, что именно вы пробовали и где что-то не работает.

Прахар · Answer 1

Поля удовлетворяют волновому уравнению. Поэтому мы можем написать

\begin{aligned} ф (Икс) "=" \int \frac{д^{3} п}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 ю_{п}} [а (п) е^{я п \cdot Икс} + б^{†} (п) е^{- я п \cdot Икс}] \\ ф^{†} (Икс) "=" \int \frac{д^{3} п}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 ю_{п}} [б (п) е^{я п \cdot Икс} + а^{†} (п) е^{- я п \cdot Икс}] \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \phi(x) = \int \frac{ d^3 p}{ (2\pi)^3} \frac{1}{2 \omega_{\bf p} } \left[ a({\bf p}) e^{i p \cdot x} + b^\dagger({\bf p} ) e^{- i p \cdot x} \right] \\ \phi^\dagger (x) = \int \frac{ d^3 p}{ (2\pi)^3} \frac{1}{2 \omega_{\bf p} } \left[ b({\bf p}) e^{i p \cdot x} + a^\dagger({\bf p} ) e^{- i p \cdot x} \right] \\ \end{split} \end{equation}$ где

ω_{p} = \sqrt{p^{2} + m^{2}}

$\omega_{\bf p} = \sqrt{ {\bf p}^2 + m^2 }$ . Инвертируя это, мы находим (ПРОВЕРЬТЕ ЭТО)

\begin{aligned} а^{†} (п) & "=" - я \int д^{3} Икс е^{я п \cdot Икс} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} ф^{†} (Икс) \\ б^{†} (п) & "=" - я \int д^{3} Икс е^{я п \cdot Икс} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} ф (Икс) \\ а (п) & "=" я \int д^{3} Икс е^{- я п \cdot Икс} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} ф (Икс) \\ б (п) & "=" я \int д^{3} Икс е^{- я п \cdot Икс} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} ф^{†} (Икс) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} a^\dagger ( {\bf p} ) &= - i \int d^3 x e^{i p \cdot x} \overleftrightarrow{\partial_0} \phi^\dagger(x) \\ b^\dagger ( {\bf p} ) &= - i \int d^3 x e^{i p \cdot x} \overleftrightarrow{\partial_0} \phi(x) \\ a ( {\bf p} ) &= i \int d^3 x e^{-i p \cdot x} \overleftrightarrow{\partial_0} \phi(x) \\ b ( {\bf p} ) &= i \int d^3 x e^{-i p \cdot x} \overleftrightarrow{\partial_0} \phi^\dagger(x) \\ \end{split} \end{equation}$ где

A \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} B = A \partial_{0} B - (\partial_{0} A) B

$A \overleftrightarrow{\partial_0} B = A \partial_0 B - (\partial_0 A ) B$ .

Сопряженные импульсы могут быть определены из лагранжиана как

π "=" \partial_{0} ф^{†}, π^{†} "=" \partial_{0} ф

$\pi = \partial_0 \phi^\dagger,~~ \pi^\dagger = \partial_0 \phi$ Коммутационные соотношения в терминах полей имеют вид

[ф (т, Икс), π (т, у)] "=" я {дельта}^{3} (Икс - у)

$[ \phi(t, {\bf x}), \pi(t, {\bf y}) ] = i \delta^3 ( {\bf x} - {\bf y} )$ Используя эту информацию, вы сможете вычислить скобки модовых коэффициентов.

PS - я должен добавить, что я использую $(-+++)$ подпись для метрики.

Хороший ответ; скорее всего, ОП также понадобится известная личность: ${дельта}^{н} (к) "=" \int \frac{д^{н} Икс}{(2 π)^{н}} е^{я к \cdot Икс}$ $\begin{equation} \delta^n(k) = \int \frac{\mathrm{d}^n x }{(2 \pi)^n} \; e^{i k \cdot x} \end{equation}$
Концептуально простой, но «алгебраически трудный» способ, который я сделал в своем классе КТП, заключался в простом включении разложения Фурье поля в коммутационное соотношение. Использование всех соотношений коммутации поля/импульса даст вам правильное соотношение между всеми операторами создания/уничтожения, инвертирование не требуется.
@Danu Это то, что я изначально начал делать. Через полторы страницы я понял, что просто собираюсь получить некоторые коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения, равные $i\delta^3(\vec{x}-\vec{y})$ ?
@Prahar Хороший ответ. Однако, когда вы говорите «проверьте это», это была главная проблема, с которой я столкнулся. Откуда у вас эти четыре уравнения? Вы использовали метод, который я предложил как номер 2) в моем вопросе? Существует ли какая-то общая формула инвестирования преобразования Фурье?
@user13223423 user13223423 Я знаю, что это была главная проблема, с которой вы столкнулись, и я дал вам явную формулу. Все, что вам нужно сделать, это подключить различные расширения и получить это. По сути, я использовал шаг 3. В более общем смысле я использовал более обобщенную технику для определения операторов рождения-уничтожения в терминах некоторого скалярного произведения в классическом полевом пространстве.
Начнем с рассмотрения классического пространства решений волнового уравнения и определения скалярного произведения на этом пространстве. $(\phi_1, \phi_2) = \int d^3 x \phi_1 {\overleftrightarrow \partial_0} \phi_2$ . Можно показать, что это сохраняющийся внутренний продукт. Затем выбирают ортонормированный базис на этом пространстве $\phi_k$ удовлетворяющий $(\phi_k \phi_{k'} ) = \delta_{k, k'}$ . Затем эта основа разбивается на положительные частоты. и отрицательные частотные режимы $\phi_k^\pm$ . Это различие (и основание) в общем случае не однозначно и зависит от координат и пространства-времени.
Например, в случае пространства Минковского обычно выбирают $\phi_k^\pm = e^{ \mp i k \cdot x }$ . Затем операторы создания и уничтожения определяются как $a^\dagger_k = (\phi^+_k, \phi)$ и $a_k = (\phi_k^-, \phi)$ . Вычислив все это в явном виде, можно получить формулу, которую я описал.
@ user13223423 это просто означает, что вы где-то допустили ошибку. Факторы $i$ следует отменить (потому что $\pi=\partial_0\phi^\dagger$ )
@Danu Я немного разберусь с этим и, надеюсь, приду к правильному ответу. Но я просто беспокоюсь, что моим конечным результатом будет одно уравнение с двумя неизвестными... $a$ и $b$ . Нет?
@user13223423 user13223423 вам нужны все четыре коммутационных соотношения между импульсами и полями.
Используя этот подход, когда я вычисляю коммутационное соотношение, я получаю следующий результат: $[a^{\dagger}(q),a(p)] = 2 \omega_p \delta^3(\vec{p}-\vec{q})$ . Однако, когда я ссылаюсь на заметки Дэвида Тонга по КТП, CCR для операторов создания/уничтожения в уравнении 2.20 не имеет значения. $\omega$ фактор. Может ли кто-нибудь объяснить, если я делаю ошибку, или каков источник этой путаницы?
@newtothis - фактор $2\omega_p$ является предметом соглашения. Некоторым авторам (например, Вайнбергу и Тонгу) нравится расширять поле с помощью $\frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\bf p}}}$ вместо того, что у меня есть. Мне нравится это условное обозначение (используемое Средницким), потому что тогда $a({\bf p})$ прекрасно преобразуется при преобразованиях Лоренца, тогда как в соглашениях Вайнберга во всех формулах есть квадратные корни. Однако большая проблема с вашей формулой - это знак. Должен быть $-2 \omega_{\bf p}$ . Знак физически важен, общий фактор является условностью.
@Prahar, хорошо, я еще раз проверю свои расчеты. Если бы я определил поле так, как это сделали вы, но с $\sqrt{2\omega_p}$ замена $2\omega_p$ , я бы не получил дополнительный фактор в конечном результате, верно?
да! вы можете легко увидеть это, просто изменив масштаб $a({\bf p}) \to \sqrt{2\omega_{\bf p}} a({\bf p})$ . Обратите внимание, что вам также не хватает фактора $(2\pi)^3$ где-то (и ранее упомянутый знак, что гораздо важнее!)

Нахождение операторов создания/уничтожения

Фиберт

Андрей

Фиберт

Андрей

Ответы (1)

Прахар

Охотник

Дану

Фиберт

Фиберт

Прахар

Прахар

Прахар

Дану

Фиберт

Дану

новичок в этом

Прахар

новичок в этом

Прахар

Имеется ли гамильтониан КТП, существует ли уникальный лагранжиан?

Происхождение канонических равновременных коммутационных соотношений

Эволюция Шредингера для уравнения Клейна-Гордона

Почему мы используем уравнение Эйлера-Лагранжа для квантовых полей?

Почему лагранжев подход предпочтительнее гамильтонова в КТП? [дубликат]

Почему в квантовой теории поля используются лагранжианы, а не гамильтонианы? [дубликат]

Связь между сохраняющимся зарядом и генератором симметрии

Является ли это переопределение поля для свободной скалярной теории поля нелокальным?

Квантование свободного поля: случай Клейна-Гордона

Градиентный коммутатор в теории ϕ4ϕ4\phi^4