Упорядочивание неоднозначности в квантовом гамильтониане

Ну и метрика по целевому пространству ( не путать с метрикой пространства-времени )$g_{ij}$выглядит как

$$g_{ij}\sim \delta_{ij}+(C_{ijkl}X^{k}X^{l})+\mathcal{O}(X^{4}).$$ Мы можем обратить это, получив («для малых $X$") $$g^{ij}\sim \delta^{ij}-{D^{ij}}_{kl}X^{k}X^{l}+\mathcal{O}(X^{4})$$ где ${D^{ij}}_{kl}$являются «некоторыми коэффициентами», которые мы могли бы вычислить, если бы их заставили.

В самом деле, чтобы доказать неоднозначность порядка операторов в гамильтониане, вам просто нужно показать, что

$$H\approx g^{ij}P_{i}P_{j} = \delta^{ij}P_{i}P_{j}-{D^{ij}}_{kl}X^{k}X^{l}P_{i}P_{k}+\mathcal{O}(X^{4}P^{2})$$ имеет неоднозначность при квантовании.

Как? Что ж, рассмотрим более простой случай одномерной частицы. Мы видим, что скобки Пуассона удовлетворяют

$$\tag{1}p^{2}x^{2}=(px)^{2}=\{x^{3},p^{3}\}-p^{2}x\{x^{2},p\}-\{x^{3},p\}p^{2}.$$ Вау, как мы получили это равенство? Ну, мы используем свойство $$\{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\},\quad\mbox{and}\quad\{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}.$$ Затем мы считаем $\{x^{3},p^{3}\}$и займись алгеброй. Но когда (1) квантуется, эти равенства плохо работают. Неясно (или двусмысленно ), что важно квантовать и как это делать.

Другими словами, если у нас есть квантование как карта

$$Q:\mathrm{classical}\to\mathrm{quantum}$$ удовлетворяющий:

1. квантование «надевает шляпы» на положение и импульс:$Q(x)=\widehat{x}$и$Q(p)=\widehat{p}$, и "представлены неприводимо" (это техническое условие, не беспокойтесь об этом!);
2. $Q$является линейным, поэтому$Q(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}Q(f)+c_{2}Q(g)$где$f,g$являются функциями импульса и положения;
3. Скобки Пуассона становятся$\displaystyle Q(\{f,g\})=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[Q(f),Q(g)]$;
4. Число 1 сопоставляется с тождественным оператором$Q(1)=\mathrm{id}$.

У нас проблемы с попыткой оценить$Q(x^{2}p^{2})$. У нас есть

$$Q(x^{2}p^{2})\stackrel{??}{=}Q(x)^{2}Q(p)^{2}\stackrel{??}{=}Q(xp)^{2}?$$ Что происходит с уравнением (1)? Неоднозначно :(

Для получения дополнительной информации о неоднозначности порядка операторов см. S. Twareque Ali, Miroslav Engliš «Методы квантования: руководство для физиков и аналитиков» arXiv:math-ph/0405065 .

Также этот гамильтониан связан с лапласианом, который я не могу понять, почему?

Когда мы работаем с линейной сигма-моделью, мы имеем$g_{ij}=\delta_{ij}$и мы восстанавливаем обычный гамильтониан как лапласиан (с точностью до некоторой константы).

Это видно из формулы, и заметив в данном частном случае$g^{ij}=\delta^{ij}$так что мы находим

$$H = \frac{1}{2}\delta^{ij}P_{i}P_{j} = \frac{1}{2}P^{i}P_{i}$$ Опять же, с точностью до константы. (Смотрите уравнение (10.70) в книге, которую вы читаете, и вы найдете $P_{i}=\mathrm{i}\partial/\partial X^{i}$)

И опять же не путайте "метрику целевого пространства"$g_{ij}$с «метрикой пространства-времени», которую, я думаю, вы обозначаете как$\eta_{ij}$(далее в книге, я думаю, авторы используют$h_{ij}$для «метрики пространства-времени»).

Авторы говорят, что в квантовой теории приведенное выше выражение неоднозначно, потому что X и P не коммутируют. Следовательно, существует много неэквивалентных квантовых вариантов для H, сводимых к одному и тому же классическому объекту. Я не могу понять это.

Если вы просмотрите текст , вы увидите, что авторы предоставили коммутационное соотношение в уравнении 10.70 как:

$$[X^i,P_j] = i\delta_j^i$$

что говорит вам, что X и P некоммутативны, а операция коммутации дает мнимое число (и это уравнение можно понимать как$\dfrac{1}{X}P-P\dfrac{1}{X} = i$).

Уравнение, на которое вы ссылаетесь, на самом деле записывается как:

$$H = \dfrac{1}{2}g^{ij}(X)P_iP_j$$

Переменная положения X важна, поскольку импульс классически понимается как$mass \times velocity$так$p^2 = m^2v^2$а кинетическая энергия$\dfrac{1}{2}mv^2$. Итак$g^{ij}(X)$имеет место обратного массового члена, чтобы оставаться совместимым с классически определенным уравнением энергии.

Проблема возникает, если кто-то пытается найти неизвестное значение в уравнении. Представьте, что вы знаете H и X и хотите решить для P, вы можете получить какой-то ответ для P и предположить, что все хорошо, однако, если по какой-то причине у вас есть значение P, которое вы только что вычислили, а также значение H , а затем попытаться решить для X, вы столкнетесь с проблемами, поскольку X и P некоммутативны, вы не получите того же значения X, с которого вы начали, и, как определено, вы должны включать мнимую компоненту.

Вот что подразумевается под неоднозначностью: знание двух компонентов уравнения не даст вам определенного значения для третьего, а только диапазон значений.

Что касается отношения к лапласиану , если взглянуть на уравнение Шредингера, можно увидеть, что член оператора кинетической энергии:

$$-\dfrac{\hbar}{2m}\nabla^2$$

поэтому, если сравнить это с уравнением, на которое вы ссылаетесь, должно быть ясно, что символы импульса (P) занимают место оператора Лапласа.